Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 68 стр.

                                                 n
  p.3. iZ 34.4 I 11.8 SLEDUET, ^TO rn (x) = xn! ex ! 0 (n ! 1).
                                          2n+1
   p.4. s U^ETOM 34.5 jr2n+1(x)j  j (2xn + 1)! j ! 0 (n ! 1).
   p.6,7. pOKA MY NE SMOVEM DOKAZATX \TI RAWENSTWA W UKAZANNYH OB-
LASTQH, TAK KAK FORMA OSTATKA lAGRANVA NEDOSTATO^NO \FFEKTIWNA DLQ
\TOGO. nAPRIMER, DLQ P. 6 (SM. 34.7)
                       1   j x jn      1           1        
             jr (x)j =
               n
                        n (1 + x)n !0 , x1 ;
                                        n            2
I NELXZQ POLU^ITX PODOBNOGO REZULXTATA DLQ ,1 < x < , 12 (!!). pOZDNEE
MY POLU^IM E]E ODNU POLEZNU@ FORMU OSTATKA, S POMO]X@ KOTOROJ I
USTRANIM OSTAW[IESQ PROBELY. >
   x37. aNALITI^ESKIE FUNKCII
   1. pUSTX E ( R) OTKRYTO, FUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ ANALITI-
^ESKOJ W E , ESLI KAVDAQ TO^KA a 2 E OBLADAET OKRESTNOSTX@ U (a)  E
TAKOJ, ^TO RQD tEJLORA f PO STEPENQM x , a SHODITSQ DLQ WSEH x 2 U (a).
   p R I M E R Y. 2. fUNKCII ex (x 2 R); sin x (x 2 R); cos x (x 2 R)
QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W R (SM. 36.3{36.5).
   3. fUNKCIQ ln x (x > 0) ANALITI^ESKAQ. dEJSTWITELXNO, DLQ KAVDOGO
a > 0 FORMULA tEJLORA PO STEPENQM x , a DAET
                 nX,1    k,1
    ln x = ln a + (,1)k (x , a)k + rn (x); rn (x) = n([, 1)n(x , a)n :
                                                       a + (x , a)]n
                  k=1 ka
                      
dLQ x 2 U (a) = a ; 3a MY IMEEM ja + (x , a)j > a , TO ESTX jr (x)j <
                    2 2                                    2             n
1
n ! 0. pO\TOMU
                     x ,  a    x , a   2 (x , a)3
       ln x = ln a + 1 
 a , (
                                    2
                                     )  +     3   , : : : (jx , aj < a2 ):
                                2
a       3
a
   4. fUNKCIQ f (x), OPREDELENNAQ W 30.12 OBLADAET PROIZWODNYMI L@BOGO
PORQDKA W R, PRI^EM f (n)(0) = 0; TAK ^TO RQD tEJLORA \TOJ FUNKCII PO
STEPENQM x SHODITSQ K 0, A NE K f (x). iTAK, \TA FUNKCIQ NE ANALITI^ESKAQ.
                                       68