Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 87 стр.

eSLI f I g INTEGRIRUEMY, TO  (f ) =  (g) = 0: sLEDOWATELXNO (SM.
47.2{3),
                   (f  g) =  (f 
 g) =  (jf j) = 0:
pO TEOREME lEBEGA OTS@DA SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX UKAZANNYH W SWOJ-
STWE P. 1 FUNKCIJ. rAWENSTWA P. 1 TEPERX SLEDU@T IZ OPREDELENIQ 46.3.
pUSTX (
k ) | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX RAZLOVENIJ OTREZKA [a; b]
TAKAQ, ^TO d(
k ) ! 0. tOGDA, NAPRIMER,
    Zb
       [f (x) + g(x)]dx = lim P [f ((k) ) + g((k))](x(k) , x(k) )
                               nk
     a                             k j =1     j          j      j       j ,1
              =   lim  P
                       nk
                           f (  (k) )(x(k) , x(k) ) + lim Pnk
                                                               g((k) )(x(jk) , x(jk,)1)
                    k j =1       j      j       j , 1    k j =1 j
                  Zb                 Zb
              =
                   a
                       f (x)dx + a g(x)dx:
pUSTX TEPERX OPREDELENA LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA W SWOJSTWE P. 2, TO ESTX
f INTEGRIRUEMA NA [a; b]. tOGDA f OGRANI^ENA I  (f ) = 0. tEM BOLEE
LEBEGOWU MERU NULX IME@T MNOVESTWA TO^EK RAZRYWA OGRANI^ENIJ f NA
OTREZKI [a; c]; [c; b], TAK ^TO OPREDELENA PRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA. aNALO-
GI^NO, ESLI f INTEGRIRUEMA NA OTREZKAH [a; c]; [c; b], TO ONA INTEGRIRUEMA
NA [a; b].
     rASSMOTRIM DALEE (
0k ); (
00k ) | RAZLOVENIQ SOOTWETSTWENNO OTREZKOW
[a; c]; [c; b] TAKIE, ^TO d(
0k ); d(
00k ) ! 0. zAME^AQ, ^TO SUMMY WIDA S
0k +
S
00k QWLQ@TSQ INTEGRALXNYMI SUMMAMI FUNKCII f , SOOTWETSTWU@]IMI
OTREZKU [a; b], POLU^AEM
                Zb                                  
                   f (x)dx = lim      S 
 0 + S 
 = lim
                                                  00     S 0 + lim
                                                       k 
k
                                                                   S 00
                                                                 k 
k
                 a             Zkc k Z kb
                           = f (x)dx + f (x)dx: >
                                 a               c
    z A M E ^ A N I Q. 3. iZ INTEGRIRUEMOSTI jf j E]E NE SLEDUET INTEGRIRUE-
MOSTX f . pOSTROJTE SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER. fuKAZANIE: WIDOIZMENITE
PRIMER 48.4.g
Z b 4. pOLEZNOZ RAS[IRITX
                    a
                                OPREDELENIE INTEGRALA PO OTREZKU
                                                               Z a , S^ITAQ
   f (x)dx  , f (x)dx DLQ a > b. kROME TOGO, POLOVIM f (x)dx  0.
 a                b                                             a
dOKAZANNYE WY[E SWOJSTWA INTEGRALA WERNY I DLQ \TOGO RAS[IRENNOGO
OPREDELENIQ.
                                          87