Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 89 стр.

      Zb
eSLI a '(x)dx = 0, TO W KA^ESTWE  PODHODIT L@BOE ^ISLO IZ OTREZKA
             Zb
[m; M ]. eSLI '(x)dx > 0, TO SLEDUET WZQTX
              a
                      Zb        !,1 Z b
                  = '(x)dx 
 f (x)'(x)dx:
                       a              a
dLQ NEPRERYWNOJ FUNKCII 2-E UTWERVDENIE TEOREMY SLEDUET IZ 24.2(G). >
    x51. iNTEGRAL KAK FUNKCIQ SWOEGO WERHNEGO PREDELA
    1. pUSTX f INTEGRIRUEMA Z x NA [a; b]. tOGDA OPREDELENA I NEPRERYWNA
NA [a; b] FUNKCIQ F (x) = a f (t)dt (a  x  b).
  pUSTX K = sup jf (x)j. tOGDA F NEPRERYWNA NA [a; b] W SILU OCENKI
                 x2[a;b]
                             Zx
(1)        jF (x) , F (y)j = y f (t)dt  K jx , yj (a  x; y  b): >
    pRIWEDEM ZAME^ATELXNOE UTO^NENIE DOKAZANNOJ TEOREMY.
    2. eSLI f (x) INTEGRIRUEMA
                       Zx         NA [a; b] I NEPRERYWNA W TO^KE x0 2 (a; b),
TO FUNKCIQ F (x) = a f (t) dt (a  x  b) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0
I F 0(x0) = f (x0). w ^ASTNOSTI, ESLI f NEPRERYWNA NA (a; b), TO F (x)
(a < x < b) | PERWOOBRAZNAQ DLQ f (x) (a < x < b).
  pUSTX SNA^ALA f NEPRERYWNA NA (a; b) I x 2 (a; b). tOGDA
                                   Z x+h
(2)            F (x + h) , F (x) =        f (t)dt = f (x)h + r(h);
                                    x
             Z x+h
GDE r(h) = x [f (t) , f (x)] dt. pO TEOREME O SREDNEM ZNA^ENII r(h) =
[f (x + h) , f (x)]h (0    1), TAK ^TO r(h) = o(h) (h ! 0). sLEDOWA-
TELXNO, F 0(x) = f (x). iTAK, WSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA INTERWALE
OBLADAET PERWOOBRAZNOJ (OTWET NA WOPROS W 42.1).
    pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU 1-J ^ASTI TEOREMY. pUSTX f NEPRERYWNA
W TO^KE x0 2 (a; b). tOGDA PRI x = x0 SPRAWEDLIWY RAWENSTWA (2). pRIME-
NIM K r(h) 1-@ ^ASTX TEOREMY 50.4; IMEEM r(h) = h h, GDE m(h)  h 
                                     89