Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 85 стр.

  p. 2 SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ. pUSTX DALEE " > 0 PRO-
IZWOLXNO. tOGDA     DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO k SU]ESTWUET SEMEJSTWO IN-
TERWALOW f(a(ik); b(ik))gi=1;2;::: TAKOE, ^TO
                    [                X (k) (k)
                Ek  (a(ik); b(ik));  (bi , ai ) < "=2k :
                         i            i

sEMEJSTWO INTERWALOW
                 S   f(a(ik); b(ik))gi;k NE BOLEE ^EM S^ETNO I OBRAZUET PO-
KRYTIE MNOVESTWA Ek , PRI^EM SUMMARNAQ DLINA WSEH INTERWALOW
                     k
               X (k) (k)         X
                                 m X
                                   n
                (bi , ai ) = sup     (b(ik) , a(ik)) < ": >
               i;k           m;n    k=1 i=1
     p R I M E R Y. 4. wSQKAQ TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ IMEET LEBEGOWU
MERU NULX.
     5. dLQ WSQKOGO S^ ETNOGO MNOVESTWA E  R : E = 0.
     6. z A M E ^ A N I E. oBRATIM WNIMANIE NA NETRIWIALXNOSTX OBSUVDA-
EMOGO ZDESX PONQTIQ. mY ZNAEM, ^TO R QWLQETSQ MNOVESTWOM PREDELXNYH
TO^EK S^ETNOGO MNOVESTWA Q, TO ESTX WO WSQKOJ OKRESTNOSTI (a; b) PRO-
IZWOLXNOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA OBQZATELXNO PRISUTSTWU@T RACIO-
NALXNYE ^ISLA. mOVET POKAZATXSQ NA PERWYJ WZGLQD, ^TO ESLI KAVDOE
RACIONALXNOE ^ISLO q 2 [0; 1] POGRUZITX W KAKU@-LIBO OKRESTNOSTX \TOGO
^ISLA, TO W REZULXTATE POLU^ITSQ POKRYTIE WSEGO OTREZKA [0; 1]. nA SAMOM
DELE \TO NE TAK: POSKOLXKU (Q \ [0; 1]) = 0, TO MOVNO TAK ORGANIZOWATX
POGRUVENIE RACIONALXNYH ^ISEL IZ OTREZKA [0,1] W OKRESTNOSTI, ^TO SUM-
MARNAQ DLINA \TIH OKRESTNOSTEJ BUDET MENX[E NAPERED ZADANNOGO ^ISLA
" > 0, TOGDA KAK DLINA OTREZKA [0; 1] RAWNA 1.
     7. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO OTREZOK [0; 1] NE QWLQETSQ
MNOVESTWOM LEBEGOWOJ MERY NULX.
     x48. tEOREMA lEBEGA
     1. t E O R E M A [a. lEBEG]. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA
[a; b] TTOGDA ONA OGRANI^ENA I P.W. NEPRERYWNA.
     pOZDNEE (x120) BUDET PRIWEDENO DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY W SU-
]ESTWENNO BOLEE OB]EJ SITUACII. nA DANNOM \TAPE IZU^ENIQ KURSA NA[EJ
                                    85