Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 84 стр.

^TO W \TOT KLASS WHODQT WSE NEPRERYWNYE FUNKCII. pOKA PRIWEDEM NEOB-
HODIMOE USLOWIE INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII.
    9. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA NA OTREZKE [a; b], TO ONA OGRANI^E-
NA.
  pUSTX, NAPROTIW, f NE OGRANI^ENA. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOGO RAZLOVE-
NIQ 
 = 
(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) FUNKCIQ f NE OGRANI^ENA NA
NEKOTOROM OTREZKE [xj0,1; xj0 ]. pUSTX N > 0 SKOLX UGODNO WELIKO. wYBE-
REM j 2 [xj,1; xj ] PROIZWOLXNYMI DLQ j =6 j0, A ZATEM WYBEREM j0 TAK,
^TOBY
                                   X
         jf (j0 )j > x ,Nx + j f (j )(xj , xj,1)j 
 x ,1x :
                       j0  j0 ,1  j 6=j0               j0   j0 ,1

tOGDA
        jS
j = jf (j0 )(xj0 , xj0,1) + jP     f (j )(xj , xj,1)j
                                         6=jP0
              jf (j0 )(xj0 , xj0,1)j , j j6=j f (j )(xj , xj,1)j > N: >
                                              0

    x47. mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX
    1. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E ( R) IMEET LEBEGOWU MERU NULX (BU-
DEM PISATX E = 0), ESLI \TO MNOVESTWO MOVNO POKRYTX NE BOLEE ^EM
S^ETNYM SEMEJSTWOM INTERWALOW, SUMMARNAQ DLINA KOTORYH MENX[E NA-
PERED ZADANNOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA. bOLEE TO^NO, E = 0, ESLI DLQ
L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET      KONE^NOE ILI S^ETNOE SEMEJSTWO INTERWALOW
(ai; bi) TAKIH, ^TO E  S(ai; bi); P(bi , ai) < ".
                        i          i
    pRO NEKOTOROE SWOJSTWO TO^EK ^ISLOWOGO MNOVESTWA BUDEM GOWORITX,
^TO ONO WYPOLNQETSQ PO^TI WS@DU (P.W.), ESLI MNOVESTWO TO^EK, DLQ KOTO-
RYH \TO SWOJSTWO NE WERNO, IMEET LEBEGOWU MERU NULX. nAPRIMER, FRAZA
\FUNKCIQ f : [a; b] ! R NEPRERYWNA P.W." OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO TO-
^EK RAZRYWA FUNKCII f IMEET LEBEGOWU MERU NULX. oTMETIM POLEZNYE
SWOJSTWA WWEDENNOGO PONQTIQ.
    2. eSLI F  E I E = 0, TO F = 0.
                                            
   3.   eSLI E1 = 0; E2 = 0; : : : , TO  S Ek = 0.
                                                  k

                                       84