Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 92 стр.

   x54. oB]IE PRIEMY WY^ISLENIQ INTEGRALA
   1. [fORMULA INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM]. pUSTX f; g | NEPRERYWNYE
KUSO^NO-GLADKIE NA [a; b]. tOGDA
             Zb                          b Zb
                f (x)g (x) dx = f (x)g(x) , f 0(x)g(x) dx:
                      0
              a                            aa
   2. [fORMULA ZAMENY PEREMENNOJ]. pUSTX f (x) (a  x  b) NEPRERYWNA,
I '(t) (c  t  d) NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ, PRI^EM '(c) = a; '(d) =
b I OPREDELENA SUPERPOZICIQ f  '. tOGDA
                        Zb           Zd
                           f (x) dx = f ('(t))'0(t) dt:
                         a            c
 w SILU 53.7 S U^ETOM 53.6 IMEEM
     Zb                 Zb               Zb                       b
               0             0                          0
         f (x)g (x) dx + f (x)g(x) dx = (f (x)g(x)) dx = f (x)g(x) :
       a                 a                a                            a
sWOJSTWO 1 DOKAZANO. dLQ DOKAZATELXSTWA P. 2 OBOZNA^IM ^EREZ F PERWO-
OBRAZNU@ DLQ FUNKCII f . pUSTX RAZLOVENIE c = t0 < t1 < : : : < tn = d
TAKOWO, ^TO ' GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [tj,1; tj ]. tOGDA dtd F ('(t)) =
f ('(t))'0(t) (t = 6 tj ), I PO\TOMU PO OBOB]ENNOJ FORMULE nX@TONA-lEJBNICA
    Zd                                                           Zb
        f ('(t))' (t) dt = F ('(d)) , F ('(c)) = F (b) , F (a) = f (x) dx: >
                  0
     c                                                            a
                                         Z1
     3. p R I M E R. wY^ISLIM J =           arcsin x dx. iSPOLXZUQ 43.2, NAHODIM
                                          0
PERWOOBRAZNU@
p 2                  F (x) DLQ arcsin x (0  x  1) : F (x) = x 
 arcsin x +
   1 , x (0  x  1). s U^ETOM 52.1 IMEEM J = F (1) , F (0) = 2 , 1:
     4. z A M E ^ A N I E. zAMETIM, ^TO WYKLADKA
 Z1                                  1 Z1                    p
      arcsin x dx = x 
 arcsin x 0 , px dx 2 = 2 , 1 , x2 0 = 2 , 1;
                                                                     1
   0                                       0 1,x
DA@]AQ TOT VE OTWET, NA DANNOM UROWNE NA[IH ZNANIJ NEPRAWOMERNA,
TAK KAK FUNKCIQ arcsin x (0  x  1) NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-
GLADKOJZ 1 , I ISPOLXZOWANIE FORMULY P. 1 NEZAKONNO. dEJSTWITELXNO, INTEG-
RAL 0 p1x ,dxx2 ZAWEDOMO NE SU]ESTWUET KAK INTEGRAL rIMANA. pOZDNEE
(x129) MY PRIDADIM SMYSL PODOBNYM WYKLADKAM.
                                      92