Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 93 стр.

                                         Z1
        u P R A V N E N I E. nAJTI lim       xn dx.
                                          0 +x
                                           1
   5.
                                     n
    x55. wERHNIJ I NIVNIJ INTEGRALY dARBU
    1. zNA^ENIE INTEGRALXNOJ SUMMY rIMANA FUNKCII f (SM. 46.2) ZAWI-
SIT NE TOLXKO OT RAZLOVENIQ 
, NO I OT WYBORA PROMEVUTO^NYH TO^EK j .
eSTESTWENNO POPYTATXSQ UMENX[ITX \TOT PROIZWOL. sOOTWETSTWU@]AQ
KONSTRUKCIQ, K IZLOVENI@ KOTOROJ MY PEREHODIM, OKAZYWAETSQ POLEZNOJ
DLQ TEORII I PRILOVENIJ INTEGRALA rIMANA.
    2. pUSTX f (x) (a  x  b) | OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ I 
(a = x0 <
x1 < : : : < xn = b) | RAZLOVENIE OTREZKA [a; b]. wERHNEJ (NIVNEJ) SUM-
MOJ dARBUn FUNKCII f , OTWE^A@]EJ RAZLOVENI@ 
,n NAZYWAETSQ SUMMA
S (
) = P Mj (xj , xj,1) (SOOTWETSTWENNO S(
) = P mj (xj , xj,1)), GDE
           j =1                                     j =1
Mj = sup f (x); mj = [x inf;x ] f (x). oTMETIM OSNOWNOE SWOJSTWO SUMM
        [xj,1 ;xj ]        j,1 j
dARBU.
   3. pUSTX 
; 
0 | PROIZWOLXNYE RAZLOVENIQ OTREZKA [a; b]. tOGDA
S(
)  S (
0).
  pUSTX 
(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) I 
e | RAZLOVENIE, POLU^ENNOE
IZ 
 DOBAWLENIEM ODNOGO UZLA y. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x0 < y < x1.
tOGDA
               e = [ inf f (x)](y , x0) + [ inf f (x)](x1 , y)
           S(
)      [x0;y]                 [y;x1 ]
                  +   Pn
                          mj (xj , xj,1)  [[xinf;x ] f (x)](x1 , x0)
                     j =2                      0 1
                  +   Pn
                          m (x , x ) = S (
):
                               j j   j ,1     
                        j =2
tAKIM OBRAZOM, PRI DOBAWLENII K RAZLOVENI@ 
 NESKOLXKIH NOWYH UZLOW
NIVNQQ SUMMA dARBU RAZWE LI[X WOZRASTAET. aNALOGI^NO WERHNQQ SUMMA
dARBU OT TAKOGO DOBAWLENIQ MOVET TOLXKO UMENX[ITXSQ. pUSTX TEPERX 

I 
0 | PROIZWOLXNYE RAZLOVENIQ [a; b], A 
00 | RAZLOVENIE, POLU^ENNOE
OB_EDINENIEM UZLOW RAZLOVENIJ 
 I 
0. tOGDA W SILU SDELANNYH WY[E
ZAME^ANIJ S(
)  S(
00)  S (
00)  S (
0): >
   4. iZ P. 3 SLEDUET, ^TO MNOVESTWO fS (
)g (SOOTWETSTWENNO fS(
)g)
WSEH WERHNIH (SOOTWETSTWENNO NIVNIH) SUMM dARBU OGRANI^ENNOJ FUNK-
CII f OGRANI^ENO SNIZU (SOOTWETSTWENNO SWERHU). pO\TOMU OPREDELENY
                                     93