Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 95 стр.

GDE SUMMA P0 PO PTEM i, DLQ KOTORYH OTREZKI [yi,1; yi] SODERVAT UZLY xj
RAZLOVENIQ 
, e A 00 | SUMMA PO OSTALXNYM i. nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI,
BUDEM S^ITATX, ^TO f (x)  0 (a  x  b). tOGDA (TAK KAK KAVDYJ UZEL xj
MOVET PRINADLEVATX NE BOLEE ^EM DWUM OTREZKAM [yi,1; yi])
     P0f ( )(y , y )  M P0(y , y )  M max (y , y ) 
 P01
           i i     i,1                i  i,1        1iN i i,1 i
     i                            i
                          2Msd(
) < 2 :  "
dLQ INDEKSOW i W SUMME Pi 00 OTREZKI [yi,1; yi] CELIKOM LEVAT W PODHODQ]IH
OTREZKAH RAZLOVENIQ 
;  e OBOZNA^AQ j = fi : [yi,1; yi]  [xj,1; xj ]g, IMEEM
     P00f ( )(y , y ) = Ps P f ( )(y , y )
            i i     i,1                 i i       i,1
       i                      j =1 i2j
                           P M P (y , y )  P M (x , x )
                                s                       s
                                       j      i   i,1          j j     j ,1
                                 j =1    i2j           j =1
                             =        e:
                                 S (
)
iTAK,
    S
 , = P0 + P00 ,  2" + S (
)   e ,  " + S (
)
                                                  2
                                                         e , S(
)
                                                                e < ":
aNALOGI^NO, PRI DOSTATO^NO MALYH DIAMETRAH RAZLOVENIQ S
 , > ,"
I UTWERVDENIE DOKAZANO. >
    2. s L E D S T W I E. wSQKAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f NA OTREZKE [a; b]
INTEGRIRUEMA PO rIMANU.
  pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. tAK KAK f RAWNOMERNO NEPRERYWNA (SM. 24.7),
SU]ESTWUET  > 0 TAKOE, ^TO jx , yj <  WLE^ET jf (x) , f (y)j < b ," a .
pUSTX 
(a = x0 < x1 < : : : < xs = b) | RAZLOVENIE [a; b] TAKOE, ^TO
d(
) < ". w SILU 24.2(B) NAJDUTSQ j ; j 2 [xj,1; xj ] TAKIE, ^TO f (j ) =
Mj = sup f (x); f (j ) = mj = [x inf;x ] f (x). pO\TOMU
      [xj,1 ;xj ]                  j,1 j

                      X
                      s                                          X
                                                                 s
   S (
) , S(
) =       [f (j ) , f (j )](xj , xj,1) < b ," a (xj , xj,1);
                      j =1                                     j =1
I ZNA^IT, D (f ) , D (f ) < ". iZ PROIZWOLXNOSTI " SLEDUET, ^TO D (f ) 
D(f ) I ZNA^IT, D (f ) = D (f ). oSTAETSQ PRIMENITX DOKAZANNYJ WY[E
KRITERIJ. >
                                         95