Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 99 стр.

   nekotorye priloveniq integrala
               rimana

   x58. fORMULA tEJLORA S OSTATKOM W INTEGRALXNOJ FORME
   1.  pUSTX f OPREDELENA NA INTERWALE ( ; ), PRI^EM NA OTREZKE [a; x] 
( ; ) (ILI [x; a]  ( ; )) ONA OBLADAET NEPRERYWNOJ n-J PROIZWODNOJ.
tOGDA
                 nX,1 1                       1      Zx
        f (x) = k! f (a)(x , a) + (n , 1)! f (n) (t)(x , t)n,1 dt:
                          ( k )         k
                 k=0                                   a
                                   Zx
                               1
wELI^INA rn(x) = (n , 1) a f (n)(t)(x , t)n,1 dt NAZYWAETSQ OSTATKOM W
INTEGRALXNOJ FORME. Z
                                 x
  iMEEM f (x),f (a) = a f 0(t) dt, TO ESTX DLQ n = 1 FORMULA SPRAWEDLIWA.
pUSTX ONA SPRAWEDLIWA DLQ WSEH k  n , 1: tOGDA
                nX,2                               Zx
       f (x) = k1! f (k)(a)(x , a)k + (n ,1 2)! f (n,1) (t)(x , t)n,2 dt:
                k=0                                  a
iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI, IMEEM
    Zx                                                          x
       f (n,1)(t)(x , t)n,2 dt = , n ,1 1 f (n,1) (t)(x , t)n,1 a
     a                Zx
            + n ,1 1 f (n)(t)(x , t)n,1 dt = n ,1 1 f (n,1) (a)(x , a)n,1
                      Zax
            + n ,1 1 f (n)(t)(x , t)n,1 dt;
                       a
 A OTS@DA I SLEDUET ISKOMAQ FORMULA. >
    2. p R I M E R. pOKAVEM, ^TO ln(1 + x) =
                                                          P
                                                          1            n
                                                             (,1)n,1 xn (jxj < 1)
                                                         n=1
(SM. 36.6). sOGLASNO 36.2 NUVNO POKAZATX, ^TO rn (x) ! 0 (jxj < 1). iZ
INTEGRALXNOJ FORMY OSTATKA DLQ FUNKCII ln(1 + x) (jxj < 1) PRI a = 0:
                            Z x (x , t)n,1      Z x x , t n,1 dt
              jrn (x)j = 0 (1 + t)n dt  0 1 + t 1 + t :

                                      99