Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

18
x
1
(5)
= x
2
(4)
= - 0,836 , x
2
(5)
= - 1,18+ 0,618⋅(-0,279+1,18)= -0,623 ,
y
1
(5)
= y
2
(4)
= -0,973 < y
2
(5)
==(-0,623)
2
+ 2⋅(-0,623)= -0,858 .
Поскольку длина нового отрезка
[
a
6
, b
6
] = [a
5
, x
2
(5)
] = [-1,18; - 0,623] составляет
Δ
6
= b
6
- a
6
= -0,623+1,18= 0,557 < = 0,8 ,
условие окончания поиска выполняется.
Вывод: Минимум функции находится на отрезке [-1,18 , -0,623]. Количество
итераций равно 6 при 7 вычислениях функции. В качестве искомой
точки выбираем середину отрезка [
a
6
, b
6
], x
*
= -0,9015. Значение
функции в этой точке равно -0,9903.
A.9 Расчет минимума функции методом Фибоначчи
Задаемся константой различимости
δ
= 0,2 < ε и выбираем количество
расчетов
n из условия
ε
00
ab
F
n
−
> = (5+5)/0,8= 12,5:
Ряд Фибоначчи:
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
F
i
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …
F
6
= 13 > 12,5 следовательно количество расчетов n = 6.
А.9.1 Рассчитываем точки на отрезке [a
0
, b
0
] ; k=0 :
x
1
(0)
= -5+ (5+5) ⋅F
4
/F
6
= -5+10⋅5/13=- 1,154
x
2
(0)
= -5+ (5+5) ⋅F
5
/F
6
= -5+10⋅8/13= 1,154
и значение функции в этих точках-
y
1
(0)
= f(x
1
(0)
) =(-1,154)
2
+2⋅(-1,154)=-0,976
y
2
(0)
= f(x
2
(0)
) = (1,154)
2
+2⋅ (1,154) = 3,64 .
y
1
(0)
< y
2
(0)
, рассчитываем границы нового отрезка:
a
1
=a
0
= -5
b
1
= x
2
(0)
= 1,154 .
А.9.2 Для отрезка [a
1
, b
1
] = [-5 ; 1,154] рассчитываем новые точки; k = 1 :
x
1
(1)
= -5+ (1,154+5) ⋅3/8= - 2,692 x
2
(1)
= x
1
(0)
= -1,154
y
1
(1)
=(-2,692)
2
+ 2⋅(-2,692) =1,863 > y
2
(1)
= y
1
(0)
=-0,976 .
А.9.3 Отрезок [a
2
, b
2
] = [x
1
(1)
, b
1
] = [-2,692 ; 1,154] ; k = 2 :
x
1
(2)
= x
2
(1)
= -1,154 x
2
(2)
=-2,692+ (1,154+2,692) ⋅3/5 = -0,384
y
1
(2)
= y
2
(1)
= -0,976 < y
2
(2)
=(-0,384)
2
+ 2⋅(-0,384) =-0,621.
А.9.4 Отрезок [a
3
, b
3
] = [a
2
, x
2
(2)
] = [-2,692 ; 0,384] ; k = 3 :
x
1
(3)
= -2,692 +(-0,384+2,692) 1/3= -1,923 x
2
(3)
= x
1
(2)
= -1,154
y
1
(3)
=(-1,923)
2
+ 2⋅(-1,923) = -0,148 > y
2
(3)
= y
1
(2)
=-0,976 . 
           x1(5) = x2(4) = - 0,836 ,   x2(5)= - 1,18+ 0,618⋅(-0,279+1,18)= -0,623 ,
           y1(5) = y2(4) = -0,973 <    y2(5) ==(-0,623)2+ 2⋅(-0,623)= -0,858 .

           Поскольку длина нового отрезка
                [a6, b6] = [a5 , x2(5)] = [-1,18; - 0,623] составляет
                Δ6 = b6 - a6 = -0,623+1,18= 0,557 < = 0,8 ,
           условие окончания поиска выполняется.

Вывод: Минимум функции находится на отрезке [-1,18 , -0,623]. Количество
       итераций равно 6 при 7 вычислениях функции. В качестве искомой
       точки выбираем середину отрезка [a6, b6], x*= -0,9015. Значение
       функции в этой точке равно -0,9903.

      A.9 Расчет минимума функции методом Фибоначчи

      Задаемся константой различимости δ = 0,2 < ε и выбираем количество
                          b − a0
расчетов n из условия Fn > 0     = (5+5)/0,8= 12,5:
                                 ε
     Ряд Фибоначчи:
     i    0 1 2 3 4              5    6    7     8    9     10                …
     Fi   1 1 2 3 5              8   13 21 34        55     89                …
     F6= 13 > 12,5 следовательно количество расчетов n = 6.
     А.9.1 Рассчитываем точки на отрезке [a0, b0] ; k=0 :
                   x1(0)= -5+ (5+5) ⋅F4/F6= -5+10⋅5/13=- 1,154
                   x2(0)= -5+ (5+5) ⋅F5/F6= -5+10⋅8/13= 1,154
           и значение функции в этих точках-
                   y1(0) = f(x1(0)) =(-1,154)2 +2⋅(-1,154)=-0,976
                   y2(0) = f(x2(0)) = (1,154)2 +2⋅ (1,154) = 3,64 .
           y1(0) < y2(0), рассчитываем границы нового отрезка:
                   a1=a0= -5
                   b1= x2(0) = 1,154 .
     А.9.2 Для отрезка [a1 , b1] = [-5 ; 1,154] рассчитываем новые точки; k = 1 :
           x1(1) = -5+ (1,154+5) ⋅3/8= - 2,692      x2(1) = x1(0) = -1,154
           y1(1) =(-2,692)2+ 2⋅(-2,692) =1,863 > y2(1) = y1(0) =-0,976 .

     А.9.3 Отрезок [a2 , b2] = [x1(1) , b1] = [-2,692 ; 1,154] ; k=2:
             (2)  (1)                      (2)
           x1 = x2 = -1,154              x2 =-2,692+ (1,154+2,692) ⋅3/5 = -0,384
           y1 = y2 = -0,976 < y2(2) =(-0,384)2+ 2⋅(-0,384) =-0,621.
             (2)  (1)


     А.9.4 Отрезок [a3 , b3] = [a2 , x2(2)] = [-2,692 ; 0,384] ;   k=3:
           x1 = -2,692 +(-0,384+2,692) 1/3= -1,923 x2 = x1(2) = -1,154
             (3)                                               (3)

           y1(3) =(-1,923)2+ 2⋅(-1,923) = -0,148 > y2(3) = y1(2) =-0,976 .


18

Страницы