Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

17
Значение функции в этой точке
f(x
*
) = (-1,05)
2
+ 2⋅(-1,05)= - 0,9975.
Вывод: Конечный отрезок унимодальности [-1,4 , -0,7]. Принимаем за
оптимальную точку середину этого отрезка
x
*
= -1,05. Значение
функции в этой точке равно - 0,9975, количество итераций равно 5 при
10 вычислений функции.
A.8 Поиск минимума функции методом золотого сечения
А.8.1
Для начального отрезка [a
0
, b
0
] = [-5, 5] рассчитываем две точки:
x
1
(0)
= -5+ (1-0,618)⋅(5+5)= -1,18 ,
x
2
(0)
= -5+ 0,618⋅(5+5)= 1,18
и значение функции в этих точках
y
1
(0)
= f(x
1
(0)
) = (-1,18)
2
+ 2⋅(⋅-1,18)= -0,968 ,
y
2
(0)
= f(x
2
(0)
) = (1,18)
2
+ 2⋅(1,18)= 3,7524.
y
1
(0)
< y
2
(0)
, следовательно новый отрезок имеет границы
[
a
1
, b
1
] = [a
0
, x
2
(0)
] = [-5; 1,18] .
Проверяем условие окончания поиска: Δ
1
= b
1
-a
1
= 1,18+5 > ε = 0,8 и про-
должаем решение.
А.8.2 Для отрезка [a
1
, b
1
] = [-5; 1,18] рассчитываем новые точки
x
1
(1)
= -5+ (1-0,618)⋅(1,18+5)= -2,639 ,
x
2
(1)
= x
1
(0)
= -1,18
и значение функции в точке
x
1
(1)
-
y
1
(1)
=f(x
1
(1)
)= (-2,639)
2
- 2⋅2,639= 1,686.
Значение функции в точке
x
2
(1)
совпадает со значением в x
1
(0)
.
y
2
(1)
= y
1
(0)
= - 0,968 ,
y
1
(1)
> y
2
(1)
, следовательно новый отрезок составит:
[
a
2
, b
2
] = [x
1
(1)
, b
1
] = [-2,639; 1,18] .
Проверяем условие окончания поиска: Δ
2
= b
2
-a
2
=1,18+2,639 > 0,8 и про-
должаем решение.
А.8.3 Отрезок [a
2
, b
2
] = [x
1
(1)
, b
1
] = [-2,639; 1,18].
x
1
(2)
= x
2
(1)
= x
1
(0)
=-1,18 , x
2
(2)
= -2,639+ 0,618⋅(1,18+2,639)= -0,279 ,
y
1
(2)
= y
2
(1)
= -0,968 < y
2
(2)
==(-0,279)
2
+ 2⋅(-0,279)= -0,480 .
А.8.4 Отрезок [a
3
, b
3
] = [a
2
, x
2
(2)
] = [-2,639; -0,279] .
x
1
(3)
=-2,639+0,382⋅(-0,279+2,639) =-1,737, x
2
(3)
=x
1
(2)
=x
2
(1)
=x
1
(0)
=-1,18 ,
y
1
(3)
=(-1,737)
2
+ 2⋅(-1,737) = -0,457 > y
2
(3)
= y
1
(2)
=
- 0,968 .
А.8.5 Отрезок [a
4
, b
4
] = [x
1
(3)
, b
3
] = [-1,737; -0,279] .
x
1
(4)
= x
2
(3)
=-1,18 , x
2
(4)
= -1,737+ 0,618⋅(-0,279+1,737)= -0,836 ,
y
1
(4)
= y
2
(3)
= -0,968 > y
2
(4)
==(-0,836)
2
+ 2⋅(-0,836)= -0,973 .
А.8.6 Отрезок [a
5
, b
5
] = [x
1
(4)
, b
4
] = [-1,18 ; -0,279] . 
     Значение функции в этой точке
               f(x*) = (-1,05)2+ 2⋅(-1,05)= - 0,9975.
Вывод: Конечный отрезок унимодальности [-1,4 , -0,7]. Принимаем за
       оптимальную точку середину этого отрезка x* = -1,05. Значение
       функции в этой точке равно - 0,9975, количество итераций равно 5 при
       10 вычислений функции.
     A.8 Поиск минимума функции методом золотого сечения
    А.8.1 Для начального отрезка [a0, b0] = [-5, 5] рассчитываем две точки:
                 x1(0) = -5+ (1-0,618)⋅(5+5)= -1,18 ,
                  x2(0)= -5+ 0,618⋅(5+5)= 1,18
         и значение функции в этих точках
                  y1(0) = f(x1(0)) = (-1,18)2+ 2⋅(⋅-1,18)= -0,968 ,
                  y2(0) = f(x2(0)) = (1,18)2+ 2⋅(1,18)= 3,7524.
         y1(0) < y2(0) , следовательно новый отрезок имеет границы
                 [a1, b1] = [a0 , x2(0)] = [-5; 1,18] .
     Проверяем условие окончания поиска: Δ1 = b1-a1= 1,18+5 > ε = 0,8 и про-
должаем решение.

    А.8.2 Для отрезка [a1, b1] = [-5; 1,18] рассчитываем новые точки
                  x1(1) = -5+ (1-0,618)⋅(1,18+5)= -2,639 ,
                  x2(1) = x1(0)= -1,18
          и значение функции в точке x1(1) -
                  y1(1) =f(x1(1))= (-2,639)2 - 2⋅2,639= 1,686.
          Значение функции в точке x2(1) совпадает со значением в x1(0).
                   y2(1) = y1(0)= - 0,968 ,
          y1(1) > y2(1) , следовательно новый отрезок составит:
                  [a2, b2] = [x1(1) , b1] = [-2,639; 1,18] .
     Проверяем условие окончания поиска: Δ2= b2-a2=1,18+2,639 > 0,8 и про-
должаем решение.

    А.8.3 Отрезок [a2, b2] = [x1(1) , b1] = [-2,639; 1,18].
         x1(2)= x2(1)= x1(0)=-1,18 , x2(2)= -2,639+ 0,618⋅(1,18+2,639)= -0,279 ,
          y1(2) = y2(1) = -0,968 <     y2(2) ==(-0,279)2+ 2⋅(-0,279)= -0,480 .

    А.8.4 Отрезок [a3, b3] = [a2 , x2(2)] = [-2,639; -0,279] .
         x1(3)=-2,639+0,382⋅(-0,279+2,639) =-1,737, x2(3)=x1(2)=x2(1)=x1(0)=-1,18 ,
          y1(3) =(-1,737)2+ 2⋅(-1,737) = -0,457 > y2(3) = y1(2) = - 0,968 .

    А.8.5 Отрезок [a4, b4] = [x1(3), b3] = [-1,737; -0,279] .
          x1(4)= x2(3)=-1,18 ,    x2(4)= -1,737+ 0,618⋅(-0,279+1,737)= -0,836 ,
          y1(4) = y2(3) = -0,968 > y2(4) ==(-0,836)2+ 2⋅(-0,836)= -0,973 .

    А.8.6 Отрезок [a5, b5] = [x1(4), b4] = [-1,18 ; -0,279] .
                                                                                      17

Страницы