Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

16
A.7 Расчет минимума функции методом половинного деления
Выбираем значение окрестности равной константе различимости
δ
= 0,2 < ε.
А.7.1 Выбираем две точки, симметрично расположенные относительно се-
редины отрезка [
a
0
, b
0
]:
x
1
(0)
= (-5+5)/2- 0,2= - 0,2 ,
x
2
(0)
= (-5+5)/2+ 0,2= 0,2
и рассчитываем значение функции в этих точках:
y
1
(0)
= f(x
1
(0)
) = (-0,2)
2
+ 2⋅(-0,2) = -0,36 ,
y
2
(0)
= f(x
2
(0)
) = 0.2
2
+ 2⋅0.2 = 0.44.
Так как
y
1
(0)
< y
2
(0)
, определяем границы нового отрезка:
a
1
= a
0
= -5 ,
b
1
= x
2
(0)
= 0,2 .
А.7.2 Вновь выбираем две точки на отрезке [a
1
, b
1
]:
x
1
(1)
= (-5+0,2)/2- 0,2= -2,6 ,
x
2
(1)
= (-5+0,2)/2+ 0,2= -2,2
и рассчитываем значение функции в этих точках:
y
1
(1)
=(-2,6)
2
+2⋅(-2,6)= 1,56 ,
y
2
(1)
=(-2,2)
2
+2⋅(-2,2)= 0,44 .
Поскольку
y
1
(1)
> y
2
(1)
, границы нового отрезка-
a
2
= x
1
(1)
= -2,6 ,
b
2
= b
1
= 0,2 .
Проверяем условие окончания оптимизации и так как
Δ
2
= b
2
-a
2
= 0,2+2,6= 2,8 >0,8 ,
продолжаем поиск.
А.7.3 Отрезок [a
2
, b
2
] = [x
1
(1)
, b
1
] = [-2,6; 0,2] .
x
1
(2)
= -1,4 , x
2
(2)
= -1,0 , y
1
(2)
=-0,84 > y
2
(2)
= -1,00 ,
a
3
= x
1
(2)
=-1,4 , b
3
= b
2
= 0,2
и проверяем условие окончания оптимизации:
Δ
3
= b
3
-a
3
= 0,2+1,4 > 0,8 .
А.7.4 Отрезок [a
3
, b
3
] = [x
1
(2)
, b
2
] = [-1,4; 0,2] .
x
1
(3)
= -0,8 , x
2
(3)
= -0,4 , y
1
(3)
=-0,96 < y
2
(3)
= -0,64 .
А.7.5 Отрезок [a
4
, b
4
] = [a
3
, x
2
(3)
] = [-1,4; -0,4] .
x
1
(4)
= -1,1 , x
2
(4)
= -0,7 , y
1
(4)
= - 0,99 < y
2
(4)
= -0,91 .
Новый отрезок имеет границы:
[
a
5
, b
5
] = [a
4
, x
2
(4)
] = [-1,4; -0,7] ,
его длина составляет Δ
5
= b
5
-a
5
= -0,7+1,4= 0,7 < ε = 0,8
и таким образом условие окончания поиска выполняется.
За точку локального минимума, найденную с заданной точностью при-
нимаем середину отрезка [
a
5
, b
5
]: x
*
≈ (a
5
+b
5
)/2 = (-1,4-0,7)/2 = -1,05. 
      A.7 Расчет минимума функции методом половинного деления

 Выбираем значение окрестности равной константе различимости δ= 0,2 < ε.
     А.7.1 Выбираем две точки, симметрично расположенные относительно се-
      редины отрезка [a0, b0]:
                 x1(0)= (-5+5)/2- 0,2= - 0,2 ,
                 x2(0)= (-5+5)/2+ 0,2= 0,2
           и рассчитываем значение функции в этих точках:
                 y1(0) = f(x1(0)) = (-0,2)2 + 2⋅(-0,2) = -0,36 ,
                 y2(0) = f(x2(0)) = 0.22 + 2⋅0.2 = 0.44.
           Так как y1(0) < y2(0), определяем границы нового отрезка:
                 a1 = a0 = -5 ,
                 b1 = x2(0) = 0,2 .
     А.7.2 Вновь выбираем две точки на отрезке [a1, b1]:
                 x1(1) = (-5+0,2)/2- 0,2= -2,6 ,
                 x2(1) = (-5+0,2)/2+ 0,2= -2,2
           и рассчитываем значение функции в этих точках:
                 y1(1) =(-2,6)2+2⋅(-2,6)= 1,56 ,
                 y2(1) =(-2,2)2+2⋅(-2,2)= 0,44 .
           Поскольку y1(1) > y2(1) , границы нового отрезка-
                  a2 = x1(1)= -2,6 ,
                 b2 = b1 = 0,2 .
           Проверяем условие окончания оптимизации и так как
                 Δ2 = b2-a2= 0,2+2,6= 2,8 >0,8 ,
           продолжаем поиск.
     А.7.3 Отрезок [a2 , b2] = [x1(1) , b1] = [-2,6; 0,2] .
             x1(2)= -1,4 , x2(2)= -1,0 ,      y1(2) =-0,84 > y2(2) = -1,00 ,
                   a3 = x1(2)=-1,4 ,         b3= b2= 0,2
            и проверяем условие окончания оптимизации:
                   Δ3 = b3-a3= 0,2+1,4 > 0,8 .
     А.7.4 Отрезок [a3 , b3] = [x1(2) , b2] = [-1,4; 0,2] .
            x1(3)= -0,8 , x2(3)= -0,4 ,         y1(3) =-0,96 < y2(3) = -0,64 .
     А.7.5 Отрезок [a4 , b4] = [a3 , x2(3)] = [-1,4; -0,4] .
            x1(4)= -1,1 , x2(4)= -0,7 ,         y1(4) = - 0,99 < y2(4) = -0,91 .

            Новый отрезок имеет границы:
                  [a5, b5] = [a4 , x2(4)] = [-1,4; -0,7] ,
            его длина составляет          Δ5 = b5-a5 = -0,7+1,4= 0,7 < ε = 0,8
            и таким образом условие окончания поиска выполняется.
     За точку локального минимума, найденную с заданной точностью при-
нимаем середину отрезка [a5, b5]:   x*≈ (a5+b5)/2 = (-1,4-0,7)/2 = -1,05.

16

Страницы