Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

14
A.4 Поиск минимума методом Пауэлла
Принимаем величину начального шага Δx = 5 для начальной точки
x
0
= 10.
A.4.1 Вычисляем x
1
= x
0
+ Δx =10+5 =15 ; у
0
= f(10) = 120 и у
1
= f(x
1
) = 255 .
A.4.2 Поскольку у
0
≤ у
1
, x
2
= x
0
- Δx =10 – 5 = 5 ; у
2
= f(x
2
) = f(5) = 35.
A.4.3 Используя значения x
0
, x
1
, x
2
и у
0
, у
1
, у
2
вычисляем x
*
с помощью
квадратичной аппроксимации
.1
1015
120255
105
12035
155
11
;27
1015
120255
;120
01
01
02
02
12
2
01
01
1
00
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
=
−
−
=
−
−
=
==
xx
yy
xx
yy
xx
a
xx
yy
a
ya
15,135,12
12
27
2
1015
22
2
1
01
*
−=−=
⋅
−
+
=−
+
≈
a
a
xx
x
A.4.4 Проверяем условие окончания поиска
|
x
min
- x
*
| = | x
2
- x
*
| =| 5 +1| >
ε
= 0,8 и продолжаем поиск.
A.4.5 Отбрасываем точку с наибольшим значением целевой функции, т.е.
у
1
= у
max
= 255 при x
1
= 15 .
A.4.6 Для оставшихся точек x
0
= 10 , x
1
= - 1 , x
2
= 5 рассчитываем новые
коэффициенты полинома
a
0
= 120 , a
1
= 11 , a
2
= 1 и оптимальное
значение
x
*
= -1 .
A.4.7 Условие окончания поиска выполняется
|
x
min
- x
*
| = |x
1
- x
*
| =|-1 +1| <
ε
= 0,8 , поэтому поиск можно прекратить.
Вывод: Минимум функции достигается в точке x
*
≈ = - 1. Количество итераций
равно 2 при 4 вычислениях функции. Значение функции в этой точке
равно - 1. Следует отметить, что заданная функция является
квадратичной, поэтому при квадратичной аппроксимации на первом же
шаге определяется оптимальное значение.
A.5 Определение начального отрезка унимодальности
Для определения отрезка унимодальности используем начальные вычис-
ления метода обратного переменного шага, описанные в пункте А.3 для задан-
ной начальной точки
x
(0)
= 10 и начальном шаге ∆ = - 5.
f(x
0
) = f(10) = 120 ;
f
(x
0
+ Δ
0
) = f(10 - 5) = 35 ; f(x
0
+ Δ
0
) < f(x
0
) ;
f(x
0
+ 2Δ
0
) = f(10 - 10) = 0 ; f(0) < f(5) ; 
      A.4 Поиск минимума методом Пауэлла

      Принимаем величину начального шага Δx = 5 для начальной точки
x0 = 10.
     A.4.1 Вычисляем x1 = x0 + Δx =10+5 =15 ; у0 = f(10) = 120 и у1 = f(x1) = 255 .

     A.4.2 Поскольку у0 ≤ у1 , x2 = x0 - Δx =10 – 5 = 5 ; у2 = f(x2) = f(5) = 35.
     A.4.3 Используя значения x0 , x1 , x2 и у0 , у1 , у2 вычисляем x* с помощью
      квадратичной аппроксимации
      a0 = y0 = 120 ;
             y1 − y0 255 − 120
      a1 =           =         = 27 ;
             x1 − x0   15 − 10
                1 ⎛ y 2 − y0 y1 − y0 ⎞      1 ⎛ 35 − 120 255 − 120 ⎞
      a2 =           ⎜⎜       −        ⎟⎟ =     ⎜        −         ⎟ =1 .
             x2 − x1 ⎝ x2 − x0 x1 − x0 ⎠ 5 − 15 ⎝ 5 − 10   15 − 10 ⎠

                           x1 + x0   a   15 + 10 27
                    x* ≈           − 1 =        −      = 12,5 − 13,5 = −1
                              2     2a 2    2     2 ⋅1

     A.4.4 Проверяем условие окончания поиска
            | xmin - x*| = | x2 - x*| =| 5 +1| > ε = 0,8 и продолжаем поиск.
     A.4.5 Отбрасываем точку с наибольшим значением целевой функции, т.е.
            у1 = уmax = 255 при x1 = 15 .
     A.4.6 Для оставшихся точек x0 = 10 , x1 = - 1 , x2 = 5 рассчитываем новые
            коэффициенты полинома a0 = 120 , a1 = 11 , a2 = 1 и оптимальное
            значение x* = -1 .
     A.4.7 Условие окончания поиска выполняется
           |xmin- x*| = |x1 - x*| =|-1 +1| <ε = 0,8 , поэтому поиск можно прекратить.

Вывод: Минимум функции достигается в точке x* ≈ = - 1. Количество итераций
       равно 2 при 4 вычислениях функции. Значение функции в этой точке
       равно - 1. Следует отметить, что заданная функция является
       квадратичной, поэтому при квадратичной аппроксимации на первом же
       шаге определяется оптимальное значение.

      A.5 Определение начального отрезка унимодальности
     Для определения отрезка унимодальности используем начальные вычис-
ления метода обратного переменного шага, описанные в пункте А.3 для задан-
ной начальной точки x(0) = 10 и начальном шаге ∆ = - 5.
     f(x0) = f(10) = 120 ;
     f(x0 + Δ0) = f(10 - 5) = 35 ; f(x0 + Δ0) < f(x0) ;
     f(x0 + 2Δ0) = f(10 - 10) = 0 ; f(0) < f(5) ;
14

Страницы