Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

13
A.3 Поиск минимума методом обратного переменного шага
Принимаем для начальной точки x
0
= 10 величину начального шага
Δ
0
= 5 , а коэффициент сжатия
β
= 0,3.
A.3.1 Для определения знака Δ в начальной точке x
0
= 10 сравним значения
f(x
0
) = f(10) = 120 ,
f(x
0
+ h
0
) = f(15) = 255 и
f(x
0
- h
0
) = f(5) = 35 .
Поскольку
f(x
0
+ Δ
0
) > f(x
0
) > f(x
0
- Δ
0
) , то величина шага должна быть
отрицательной, т.е. Δ
0
= - 5.
Таким образом имеем
x
1
= x
0
+ Δ
0
= 10 – 5 = 5, x
0
(1)
= x
1
.
A.3.2 Координаты следующей точки x
1
(1)
= x
0
(1)
- Δ = 0, в которой
y
1
(1)
= f(0) = 0 . Т.к. y
1
(1)
= f(x
1
(1)
) =0 < y
1
(1)
= f(x
0
(1)
) = 35 принимаем x
0
(2)
= x
1
(1)
и продолжаем движение.
A.3.3 x
1
(2)
= x
0
(2)
- Δ
0
= -5 ; y
1
(2)
=
f(x
1
(2)
) = 15 . Значение функции в новой
точке увеличилось, т.е.
y
1
(2)
=
f(x
1
(2)
) = 15 > y
0
(2)
= f(x
0
(2)
) = 0 , и т.к.
Δ
0
> ε = 0,8 уменьшаем шаг Δ
1
= - 0,3 h
0
= 1,5 и продолжаем движение.
A.3.4 Дальнейшую последовательность вычислений представим в виде пар
координат
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(
)(
k
i
k
i
y
x
, где i= 0; 1 , а верхний индекс k является номером оче-
редного шага сканирования.
x
0
(3)
= x
1
(2)
= -5 ; x
1
(3)
= x
0
(3)
+ Δ
1
= - 3,5 ; y
1
(3)
= 5,25 < y
0
(3)
= 15 .
A.3.5 x
0
(4)
= x
1
(3)
; x
1
(4)
= x
0
(4)
+ Δ
1
= - 2 ; y
1
(4)
= 0 < y
0
(4)
= 5,25 .
A.3.6 x
0
(5)
= x
1
(4)
; x
1
(5)
= x
0
(5)
+ Δ
1
= - 0,5 ; y
1
(5)
= - 0,75 < y
0
(5)
= 0 .
A.3.7 x
0
(6)
= x
1
(5)
; x
1
(6)
= x
0
(6)
+ Δ
1
= 1 ; y
1
(6)
= 3 > y
0
(6)
= - 0,75 ; Δ
1
> ε ,
поэтому уменьшаем шаг
Δ
2
= - 0,3 Δ
1
= -0,45 .
A.3.8 x
0
(7)
= x
1
(6)
; x
1
(7)
= x
0
(7)
+ Δ
2
= 1 - 0,45 = 0,55 ; y
1
(7)
= 1,4 < y
0
(7)
= 3 .
A.3.9 x
0
(8)
= x
1
(7)
; x
1
(8)
= x
0
(8)
+ Δ
2
= 0,1 ; y
1
(8)
= 0,21 < y
0
(8)
= 1,4 .
A.3.10 x
0
(9)
= x
1
(8)
; x
1
(9)
= x
0
(9)
+ Δ
2
= - 0,35 ; y
1
(9)
= - 0,58 < y
0
(9)
= 0,21 .
A.3.11 x
0
(10)
= x
1
(9)
; x
1
(10)
= x
0
(10)
+ Δ
2
= - 0,8 ; y
1
(10)
= - 0,96 < y
0
(10)
= -0,58 .
A.3.12 x
0
(11)
= x
1
(10)
; x
1
(11)
= x
0
(11)
+ Δ
2
= - 1,25 ; y
1
(11)
= - 0,94 > y
0
(11)
= -0,96 .
Значение функции в последней точке возросло, а поскольку Δ
2
=0,45< ε,
поиск можно прекратить.
Вывод: Минимум функции достигается в точке x
*
≈ x
0
(11)
= - 0,8 с погрешностью
ε = 0,8. Количество итераций равно 11 при 14 вычислениях функции.
Значение функции в этой точке равно -0,96. 
     A.3 Поиск минимума методом обратного переменного шага
     Принимаем для начальной точки x0 = 10 величину начального шага
Δ0 = 5 , а коэффициент сжатия β = 0,3.
    A.3.1 Для определения знака Δ в начальной точке x0 = 10 сравним значения
            f(x0) = f(10) = 120 ,
            f(x0 + h0 ) = f(15) = 255 и
            f(x0 - h0 ) = f(5) = 35 .
      Поскольку f(x0 + Δ0 ) > f(x0) > f(x0 - Δ0 ) , то величина шага должна быть
     отрицательной, т.е. Δ0 = - 5.
     Таким образом имеем x1 = x0 + Δ0 = 10 – 5 = 5, x0(1) = x1 .
    A.3.2 Координаты следующей точки x1(1) = x0(1) - Δ = 0, в которой
     y1(1) = f(0) = 0 . Т.к. y1(1) = f(x1(1)) =0 < y1(1) = f(x0(1)) = 35 принимаем x0(2) = x1(1)
     и продолжаем движение.
    A.3.3 x1(2) = x0(2) - Δ0 = -5 ; y1(2) = f(x1(2)) = 15 . Значение функции в новой
     точке увеличилось, т.е. y1(2) = f(x1(2)) = 15 > y0(2) = f(x0(2)) = 0 , и т.к.
      Δ0 > ε = 0,8 уменьшаем шаг Δ1 = - 0,3 h0 = 1,5 и продолжаем движение.
    A.3.4 Дальнейшую последовательность вычислений представим в виде пар
                ⎡ xi( k ) ⎤
     координат ⎢ ( k ) ⎥ , где i= 0; 1 , а верхний индекс k является номером оче-
                ⎣ yi ⎦
     редного шага сканирования.
     x0(3) = x1(2) = -5 ; x1(3) = x0(3) + Δ1 = - 3,5 ; y1(3) = 5,25 < y0(3) = 15 .
    A.3.5 x0(4) = x1(3) ; x1(4) = x0(4) + Δ1 = - 2 ; y1(4) = 0 < y0(4) = 5,25 .
    A.3.6 x0(5) = x1(4) ; x1(5) = x0(5) + Δ1 = - 0,5 ; y1(5) = - 0,75 < y0(5) = 0 .
    A.3.7 x0(6) = x1(5) ; x1(6) = x0(6) + Δ1 = 1 ; y1(6) = 3 > y0(6) = - 0,75 ; Δ1 > ε ,
     поэтому уменьшаем шаг Δ2 = - 0,3 Δ1 = -0,45 .
    A.3.8 x0(7) = x1(6) ; x1(7) = x0(7) + Δ2 = 1 - 0,45 = 0,55 ; y1(7) = 1,4 < y0(7) = 3 .
    A.3.9 x0(8) = x1(7) ; x1(8) = x0(8) + Δ2 = 0,1 ; y1(8) = 0,21 < y0(8) = 1,4 .
    A.3.10 x0(9) = x1(8) ; x1(9) = x0(9) + Δ2 = - 0,35 ; y1(9) = - 0,58 < y0(9) = 0,21 .
    A.3.11 x0(10) = x1(9) ; x1(10) = x0(10) + Δ2 = - 0,8 ; y1(10) = - 0,96 < y0(10) = -0,58 .
    A.3.12 x0(11) = x1(10) ; x1(11) = x0(11) + Δ2 = - 1,25 ; y1(11) = - 0,94 > y0(11) = -0,96 .
     Значение функции в последней точке возросло, а поскольку Δ2 =0,45< ε,
     поиск можно прекратить.

Вывод: Минимум функции достигается в точке x* ≈ x0(11) = - 0,8 с погрешностью
       ε = 0,8. Количество итераций равно 11 при 14 вычислениях функции.
       Значение функции в этой точке равно -0,96.


                                                                                                13

Страницы