Методы безусловной одномерной оптимизации. Шипилов С.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

15
f(x
0
+ 3Δ
0
) = f(10 - 15) = 15 ; f(-5) > f(0) и т.о. точка минимума 5 > x
*
>-5 .
Вывод: минимум функции находится на отрезке [-5, 5] , который можно
принять в качестве начального отрезка унимодальности.
A.6 Расчет минимума функции методом локализации оптимума
A.6.1 Делим исходный отрезок на четыре равные части и рассчитываем
значения функции в полученных точках
у
1
= f(x
1
) = f(-2,5) = 1,25 ;
у
2
= f(x
2
) = f(0) = 0 ;
у
3
= f(x
3
) = f(2,5) = 11,25 .
Учитывая, что значения функции на концах исходного отрезка известны
и минимум достигается в точке
x
2
= 0, получаем новый отрезок
унимодальности [-2,5 ; 2,5]. Проверяем условие окончания поиска:
Δ
1
= b
1
-a
1
= 2,5+2,5 > ε = 0,8 и продолжаем решение.
A.6.2 Делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значе-
ния функции в полученных точках. При этом в середине отрезка значение
функции уже известно, т.е.
у
2
= f(x
2
) = f(0) = 0 .
у
1
= f(x
1
) = f(-1,25) = -0,94 ;
у
3
= f(x
3
) = f(1,25) = 4,06 .
Поскольку минимум достигается в точке
x
1
=-1,25, получаем новый
отрезок унимодальности [-2,5 ; 0]. Проверяем условие окончания поиска:
Δ
2
= b
2
-a
2
= 0 + 2,5 > ε = 0,8 и продолжаем решение.
A.6.3 Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем
значения функции в полученных точках
у
1
= f(x
1
) = f(-1,88) = -0,23 ;
у
3
= f(x
3
) = f(-0,625) = -0,86 .
Поскольку минимум достигается в точке
x
2
=-1,25, получаем новый
отрезок унимодальности [-1,88 ; -0,625]. Проверяем условие окончания
поиска: Δ
3
= b
3
-a
3
= -0,625+1,88 =1,25 > ε = 0,8 и продолжаем решение.
A.6.4 Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем
значения функции в полученных точках
у
1
= f(x
1
) = f(-1,56) = -0,23 ;
у
3
= f(x
3
) = f(-0,94) = -0,86 .
Поскольку минимум достигается в точке
x
2
=-1,25, получаем новый
отрезок унимодальности [-1,25 ; -0,625]. Длина нового отрезка составляет
Δ
4
= b
4
-a
4
= -0,625+1,25 =0,625 < ε = 0,8 и условие окончания поиска
выполняется.
Вывод: Конечный отрезок унимодальности [-1,25;-0,625]. Принимаем за опти-
мальную точку его середину
x
*
= -0,9375. Значение функции в этой точке
равно - 0,9961, количество итераций – 4 при 9 вычислениях функции. 
     f(x0 + 3Δ0) = f(10 - 15) = 15 ; f(-5) > f(0) и т.о. точка минимума 5 > x* >-5 .

     Вывод: минимум функции находится на отрезке [-5, 5] , который можно
принять в качестве начального отрезка унимодальности.

     A.6 Расчет минимума функции методом локализации оптимума

    A.6.1 Делим исходный отрезок на четыре равные части и рассчитываем
     значения функции в полученных точках
     у1 = f(x1) = f(-2,5) = 1,25 ;
     у2 = f(x2) = f(0) = 0 ;
     у3 = f(x3) = f(2,5) = 11,25 .
     Учитывая, что значения функции на концах исходного отрезка известны
     и минимум достигается в точке x2 = 0, получаем новый отрезок
     унимодальности [-2,5 ; 2,5]. Проверяем условие окончания поиска:
     Δ1 = b1-a1= 2,5+2,5 > ε = 0,8 и продолжаем решение.

    A.6.2 Делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значе-
     ния функции в полученных точках. При этом в середине отрезка значение
     функции уже известно, т.е. у2 = f(x2) = f(0) = 0 .
     у1 = f(x1) = f(-1,25) = -0,94 ;
     у3 = f(x3) = f(1,25) = 4,06 .
     Поскольку минимум достигается в точке x1 =-1,25, получаем новый
     отрезок унимодальности [-2,5 ; 0]. Проверяем условие окончания поиска:
     Δ2 = b2-a2= 0 + 2,5 > ε = 0,8 и продолжаем решение.

    A.6.3 Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем
     значения функции в полученных точках
     у1 = f(x1) = f(-1,88) = -0,23 ;
     у3 = f(x3) = f(-0,625) = -0,86 .
     Поскольку минимум достигается в точке x2 =-1,25, получаем новый
     отрезок унимодальности [-1,88 ; -0,625]. Проверяем условие окончания
     поиска: Δ3 = b3-a3= -0,625+1,88 =1,25 > ε = 0,8 и продолжаем решение.

    A.6.4 Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем
     значения функции в полученных точках
     у1 = f(x1) = f(-1,56) = -0,23 ;
      у3 = f(x3) = f(-0,94) = -0,86 .
     Поскольку минимум достигается в точке x2 =-1,25, получаем новый
     отрезок унимодальности [-1,25 ; -0,625]. Длина нового отрезка составляет
     Δ4 = b4-a4= -0,625+1,25 =0,625 < ε = 0,8 и условие окончания поиска
     выполняется.

Вывод: Конечный отрезок унимодальности [-1,25;-0,625]. Принимаем за опти-
     мальную точку его середину x* = -0,9375. Значение функции в этой точке
     равно - 0,9961, количество итераций – 4 при 9 вычислениях функции.
                                                                                       15

Страницы