Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

x
(k+1)
-x
(k)
=D
-1
(b-Ax
(k)
)
или в канонической форме
D
τ
−
+ )k()1k(
xx
+ Ax
(k)
=b, τ=1, k=0, 1, 2,…
3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя
Для решения системы (3.22) методом Зейделя, метод можно записать в следующей форме
)n,1i(,bxaxa
i
n
1ij
)k(
jij
i
1j
)1k(
jij
==+
∑∑
+==
+
, (3.28)
где a
ii
≠0. Из формулы (3.28) получим формулы для последовательного вычисления
)k(
n
)1k(
2
)1k(
1
x,...,x,x
++
(к=0, 1, 2,…)
=−−=
−=
∑∑
∑
−
=
+
+=
+
=
+
1i
1j
)1k(
jij
n
1ij
)k(
jiji
ii
)1k(
i
n
2j
)k(
jj11
11
)1k(
1
)n,2i(),xaxab(
a
1
x
,)xab(
a
1
x
. (3.29)
В матричной форме (3.29) примет вид
x
(k+1)
=D
-1
(b-Ux
(k)
-Lx
(k+1)
), (3.30)
где D – диагональная матрица, U и L – соответственно, верхняя и нижняя треугольные мат-
рицы, так что
A=L+D+U. (3.31)
Из формул (3.30) и (3.31) после простых преобразований получим каноническую форму ме-
тода Зейделя [9, 11]
(D+L)(x
(k+1)
-x
(k)
)+Ax
(k)
=b, (3.32)
где
τ=1, k=0, 1, 2,…
Для ускорения сходимости итерационного процесса, можно привести метод Зейделя
(3.32) к методу релаксации, вводя итерационный параметр
ω, тогда имеем
(D+
ωL)
ω
−
+ )k()1k(
xx
+Ax
(k)
=b, k=0, 1, 2,… (3.33)
Отметим, что при 1<
ω<2 метод (3.33) называется верхней релаксацией, при 0<ω<1 –
нижней релаксацией, при
ω=1 – полной релаксацией или методом Зейделя.
3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов
Двухслойные итерационные методы в канонической форме записываются в виде
В
1k
)k()1k(
xx
+
+
τ
−
+ Ax
(k)
=b, (3.34)
где В – вещественная невырожденная матрица,
τ
k+1
– последовательность итерационных па-
раметров, х
(0)
– произвольный начальный вектор.
Имея, вектор погрешности
z
(k)
=x
(k)
-x, где х – точное решение. Можно преобразовать (3.34), для этого значения
x
(k+1)
=z
(k+1)
+x, x
(k)
=z
(k)
+x подставляем в (3.34). Тогда получим
В
1k
)k()1k(
zz
+
+
τ
−
+ Az
(k)
=0 (3.35)
у которого вектор погрешности z
(k)
является решением и условие сходимости итерационно-
го процесса (3.34) может быть переписано так:
0zlim
)k(
k
=
∞→
. (3.36) 
                                                            x(k+1)-x(k)=D-1(b-Ax(k))
или в канонической форме
                                      x ( k +1) − x ( k )
                                  D                       + Ax(k)=b, τ=1, k=0, 1, 2,…
                                               τ

                              3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя

   Для решения системы (3.22) методом Зейделя, метод можно записать в следующей форме
                    i                         n

                  ∑j=1
                         a ij x (jk +1) +   ∑a
                                            j= i +1
                                                      ij
                                                           x (jk ) = b i , (i = 1, n ) ,               (3.28)

где aii≠0. Из формулы (3.28) получим формулы для последовательного вычисления
x 1( k +1) , x (2k +1) ,..., x (nk ) (к=0, 1, 2,…)
                                                  1            n

                   
                   
                                    x 1( k +1) =
                                                  a 11         j= 2
                                                                          ∑
                                                       (b 1 − a 1 j x (jk ) ),
                                               n                i −1                              .   (3.29)
                   x ( k +1) = 1 (b −              a ∑x (k )
                                                              −       a   x∑( k +1)
                                                                                    ), (i = 2, n )
                    i         a ii i j=i +1 ij j               j=1
                                                                        ij j


В матричной форме (3.29) примет вид
                     x(k+1)=D-1(b-Ux(k)-Lx(k+1)),                   (3.30)
где D – диагональная матрица, U и L – соответственно, верхняя и нижняя треугольные мат-
рицы, так что
                     A=L+D+U.                                       (3.31)
Из формул (3.30) и (3.31) после простых преобразований получим каноническую форму ме-
тода Зейделя [9, 11]
                     (D+L)(x(k+1)-x(k))+Ax(k)=b,                    (3.32)
где τ=1, k=0, 1, 2,…
    Для ускорения сходимости итерационного процесса, можно привести метод Зейделя
(3.32) к методу релаксации, вводя итерационный параметр ω, тогда имеем
                                  x ( k +1) − x ( k )
                  (D+ωL)                              +Ax(k)=b, k=0, 1, 2,…                            (3.33)
                                           ω
   Отметим, что при 1<ω<2 метод (3.33) называется верхней релаксацией, при 0<ω<1 –
нижней релаксацией, при ω=1 – полной релаксацией или методом Зейделя.

                   3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов

   Двухслойные итерационные методы в канонической форме записываются в виде
                        x ( k +1) − x ( k )
                  В                         + Ax(k)=b,                                                 (3.34)
                               τ k +1
где В – вещественная невырожденная матрица, τk+1 – последовательность итерационных па-
раметров, х(0) – произвольный начальный вектор.
    Имея, вектор погрешности
z(k)=x(k)-x, где х – точное решение. Можно преобразовать (3.34), для этого значения
x(k+1)=z(k+1)+x, x(k)=z(k)+x подставляем в (3.34). Тогда получим
                        z ( k +1) − z ( k )
                  В                         + Az(k)=0                                                  (3.35)
                               τ k +1
у которого вектор погрешности z(k) является решением и условие сходимости итерационно-
го процесса (3.34) может быть переписано так:
                     lim z ( k ) = 0 .                            (3.36)
                   k →∞

Страницы