Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 27 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

x
(k+1)
-x
(k)
=D
-1
(b-Ax
(k)
)
или в канонической форме
D
τ
+ )k()1k(
xx
+ Ax
(k)
=b, τ=1, k=0, 1, 2,…
3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя
Для решения системы (3.22) методом Зейделя, метод можно записать в следующей форме
)n,1i(,bxaxa
i
n
1ij
)k(
jij
i
1j
)1k(
jij
==+
+==
+
, (3.28)
где a
ii
0. Из формулы (3.28) получим формулы для последовательного вычисления
)k(
n
)1k(
2
)1k(
1
x,...,x,x
++
(к=0, 1, 2,…)
==
=
=
+
+=
+
=
+
1i
1j
)1k(
jij
n
1ij
)k(
jiji
ii
)1k(
i
n
2j
)k(
jj11
11
)1k(
1
)n,2i(),xaxab(
a
1
x
,)xab(
a
1
x
. (3.29)
В матричной форме (3.29) примет вид
x
(k+1)
=D
-1
(b-Ux
(k)
-Lx
(k+1)
), (3.30)
где D – диагональная матрица, U и L – соответственно, верхняя и нижняя треугольные мат-
рицы, так что
A=L+D+U. (3.31)
Из формул (3.30) и (3.31) после простых преобразований получим каноническую форму ме-
тода Зейделя [9, 11]
(D+L)(x
(k+1)
-x
(k)
)+Ax
(k)
=b, (3.32)
где
τ=1, k=0, 1, 2,…
Для ускорения сходимости итерационного процесса, можно привести метод Зейделя
(3.32) к методу релаксации, вводя итерационный параметр
ω, тогда имеем
(D+
ωL)
ω
+ )k()1k(
xx
+Ax
(k)
=b, k=0, 1, 2,… (3.33)
Отметим, что при 1<
ω<2 метод (3.33) называется верхней релаксацией, при 0<ω<1 –
нижней релаксацией, при
ω=1 – полной релаксацией или методом Зейделя.
3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов
Двухслойные итерационные методы в канонической форме записываются в виде
В
1k
)k()1k(
xx
+
+
τ
+ Ax
(k)
=b, (3.34)
где Ввещественная невырожденная матрица,
τ
k+1
последовательность итерационных па-
раметров, х
(0)
произвольный начальный вектор.
Имея, вектор погрешности
z
(k)
=x
(k)
-x, где хточное решение. Можно преобразовать (3.34), для этого значения
x
(k+1)
=z
(k+1)
+x, x
(k)
=z
(k)
+x подставляем в (3.34). Тогда получим
В
1k
)k()1k(
zz
+
+
τ
+ Az
(k)
=0 (3.35)
у которого вектор погрешности z
(k)
является решением и условие сходимости итерационно-
го процесса (3.34) может быть переписано так:
0zlim
)k(
k
=
. (3.36)