Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 28 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Из (3.35) выделим вектор погрешности z
(k+1)
z
(k+1)
=(E-τ
k+1
B
-1
A)z
(k)
=S
k
z
(k)
,
где S
k
=E-τ
k+1
B
-1
A – матрица перехода. Тогда
z
(k)
= S
k-1
S
k-2
…S
1
S
0
z
(0)
=Т
k0
z
(0)
,
где Т
k0
= S
k-1
S
k-2
…S
1
S
0
разрешающая матрица.
При стационарном итерационном процессе, когда
τ
k+1
=τ
S
0
=S
1
=…=S
k-1
=S. Если S=S
*
, то
k
0k
ST = .
Теорема 3.4 [8, 9]. Для сходимости стационарного итерационного процесса (3.34) с матри-
цей перехода S необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы S бы-
ли по модулю меньше единицы.
Доказательство
Пусть выполнено (3.36), тогда
0zSlim
)0(k
k
=
. (3.37)
Так как начальное приближение х
(0)
в (3.34) произвольно, то из (3.37) получаем
0Slim
k
k
=
. (3.38)
Пусть Тнекоторая неособенная матрица. Запишем матрицу S в канонической форме
Жордана
S=TJT
-1
,
где
J=
α
α
m
1
J00
00
00J
O
, α1+α2+…+αm=n.
Здесь J
αp
клетка Жордана порядка αp:
J
αp
=
µ
µ
p
p
100
00
001
000
OO
O
,
где
µ
p
собственные значения матрицы S. Тогда S
k
=TJ
k
T
-1
. Поэтому из (3.38) следует, что
0Jlim0Jlim
k
p
k
k
k
==
α
. (3.39)
Так как
µµµµ
α
µ
µ
µ
=
α
α
)()(
!1
1
)(
!2
1
)(
)!1p(
1
)(
!2
1
)(
!1
1
)(
J
k
p
'k
p
"k
p
)1p(k
p
"k
p
'k
p
k
p
k
p
L
OOOL
OO
O
,
то видно, что для выполнения (3.39) необходимо, чтобы
µ
p
<1. Теорема доказана.
Теорема 3.5 [8, 9]. Для того, чтобы стационарный итерационный процесс (3.34) с матрицей
перехода S сходился достаточно, чтобы норма матрицы S была меньше единицы.