Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Из (3.35) выделим вектор погрешности z
(k+1)
z
(k+1)
=(E-τ
k+1
B
-1
A)z
(k)
=S
k
z
(k)
,
где S
k
=E-τ
k+1
B
-1
A – матрица перехода. Тогда
z
(k)
= S
k-1
S
k-2
…S
1
S
0
z
(0)
=Т
k0
z
(0)
,
где Т
k0
= S
k-1
S
k-2
…S
1
S
0
– разрешающая матрица.
При стационарном итерационном процессе, когда
τ
k+1
=τ
S
0
=S
1
=…=S
k-1
=S. Если S=S
*
, то
k
0k
ST = .
Теорема 3.4 [8, 9]. Для сходимости стационарного итерационного процесса (3.34) с матри-
цей перехода S необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы S бы-
ли по модулю меньше единицы.
Доказательство
Пусть выполнено (3.36), тогда
0zSlim
)0(k
k
=
∞→
. (3.37)
Так как начальное приближение х
(0)
в (3.34) произвольно, то из (3.37) получаем
0Slim
k
k
=
∞→
. (3.38)
Пусть Т – некоторая неособенная матрица. Запишем матрицу S в канонической форме
Жордана
S=TJT
-1
,
где
J=
α
α
m
1
J00
00
00J
O
, α1+α2+…+αm=n.
Здесь J
αp
– клетка Жордана порядка αp:
J
αp
=
µ
µ
p
p
100
00
001
000
OO
O
,
где
µ
p
– собственные значения матрицы S. Тогда S
k
=TJ
k
T
-1
. Поэтому из (3.38) следует, что
0Jlim0Jlim
k
p
k
k
k
=⇒=
α
∞→∞→
. (3.39)
Так как
µµµµ
−α
µ
µ
µ
=
−α
α
)()(
!1
1
)(
!2
1
)(
)!1p(
1
)(
!2
1
)(
!1
1
)(
J
k
p
'k
p
"k
p
)1p(k
p
"k
p
'k
p
k
p
k
p
L
OOOL
OO
O
,
то видно, что для выполнения (3.39) необходимо, чтобы
µ
p
<1. Теорема доказана.
Теорема 3.5 [8, 9]. Для того, чтобы стационарный итерационный процесс (3.34) с матрицей
перехода S сходился достаточно, чтобы норма матрицы S была меньше единицы. 
Из (3.35) выделим вектор погрешности z(k+1)
                                  z(k+1)=(E-τk+1B-1A)z(k)=Skz(k) ,
                -1
где Sk=E-τk+1B A – матрица перехода. Тогда
                                 z(k)= Sk-1Sk-2…S1S0z(0)=Тk0z(0) ,
где Тk0= Sk-1Sk-2…S1S0 – разрешающая матрица.
   При стационарном итерационном процессе, когда τk+1=τ
                                                                   k
                         S0=S1=…=Sk-1=S. Если S=S* , то Tk 0 = S .

Теорема 3.4 [8, 9]. Для сходимости стационарного итерационного процесса (3.34) с матри-
цей перехода S необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы S бы-
ли по модулю меньше единицы.
                                          Доказательство
   Пусть выполнено (3.36), тогда
                    lim S k z ( 0 ) = 0 .                        (3.37)
                    k →∞

Так как начальное приближение х(0) в (3.34) произвольно, то из (3.37) получаем
                   lim S k = 0 .                                       (3.38)
                    k →∞

Пусть Т – некоторая неособенная матрица. Запишем матрицу S в канонической форме
Жордана
                                      S=TJT-1 ,
где
                                       J   0   0 
                                        α1         
                                    J=  0 O 0  , α1+α2+…+αm=n.
                                                  
                                         0 0 J αm 
Здесь Jαp – клетка Жордана порядка αp:
                                                       µp       0   00 
                                                                       
                                                        1       O 0 0 
                                                  Jαp=                   ,
                                                         0       O O 0 
                                                                       
                                                        0       0 1 µp 
                                                                       
где µp – собственные значения матрицы S. Тогда Sk=TJkT-1 . Поэтому из (3.38) следует, что
                   lim J k = 0 ⇒ lim J αk p = 0 .                  (3.39)
                    k →∞                   k →∞

Так как
                                          (µ kp )                                             
                                                                                              
                                        1 k '                                                 
                                           (µ p )               O                             
                                       1 !                                                    
                     J αk p   =        1 k "                                                  ,
                                            (µ )                 O       O
                                       2! p                                                   
                                            L                   O       O      O              
                                     1                              1 k "    1 k '            
                                             (µ kp ) ( αp −1)   L     (µ )     (µ )   (µ kp ) 
                                ( α p − 1 )!                        2! p     1! p             
то видно, что для выполнения (3.39) необходимо, чтобы µp<1. Теорема доказана.

Теорема 3.5 [8, 9]. Для того, чтобы стационарный итерационный процесс (3.34) с матрицей
перехода S сходился достаточно, чтобы норма матрицы S была меньше единицы.

Страницы