Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Каноническая форма двухслойных
итерационных методов
Если при решении СЛАУ
Ax=b (3.22)
итерационным методом для вычисления вектора решений x
(k+1)
используется только значе-
ния предыдущей итерации x
(k)
, то такой метод называется двухслойным или одношаговым.
Если x
(k+1)
вычисляется через значения двух итерации x
(k)
и x
(k-1)
, то метод называется трех-
слойным или двухшаговым. Здесь рассмотрим только двухслойные методы.
Отметим, что важную роль в итерационных методах играет запись их в канонической
форме. Для приведения (3.22) к канонической форме представим матрицу системы в виде
A=B-C, (3.23)
где В – невырожденная матрица.
Из (3.22) и (3.23) получим
x=B
-1
Cx+B
-1
b.
Тогда итерации можно проводить по формуле
x
(k+1)
=x
(k)
-B
-1
(Ax
(k)
-b) или
B(x
(k+1)
-x
(k)
)+ Ax
(k)
=b . (3.24)
Для ускорения сходимости итерационных методов в формулу (3.24) водят числовые пара-
метры, которые могут зависеть от номера итерации. Тогда вместо (3.24) используется
В
1k
)k()1k(
xx
+
+
τ
−
+ Ax
(k)
=b, (3.25)
где
τ
1
, τ
2
,…, τ
k+1
,… - итерационные параметры.
τ
k+1
>0 , k=0, 1, 2,…
Если В=Е – единичный оператор, то формула (3.25) примет вид
1k
)k()1k(
xx
+
+
τ
−
+ Ax
(k)
=b.
Отметим, что в общем случае матрица В может зависеть от номера итерации k , ниже
мы предполагаем, что матрица В не зависит от номера итерации.
Итерационный метод (3.25) называется стационарным, если
τ
k+1
=τ не зависит от номера
итерации, в противном случае – нестационарным.
3.4.1. Каноническая форма метода простой итерации
Для построения канонической формы метода простой итерации [9, 10] систему уравне-
ний (3.22) запишем в виде
)n,1i,ij(,)xab(
a
1
x
n
1j
)k(
jiji
ii
)1k(
i
=≠−=
∑
=
+
, (3.26)
где a
ii
≠0.
Второй член правой части (3.26) будет
,DxAxxaxaxa
(k)
i
(k)
i
(k)
iii
n
1j
(k)
jij
n
ij1,j
(k)
jij
−=−=
∑∑
=≠=
, (3.27)
где D=[a
ii
] – диагональная матрица.
Подставляя (3.27) в (3.26) получим
)n,1i(,)xaxab(
a
1
x
n
1j
)k(
iii
)k(
jiji
ii
)1k(
i
=+−=
∑
=
+
,
)n,1i(,)xab(
a
1
xx
n
1j
)k(
jiji
ii
)k(
i
)1k(
i
=−+=
∑
=
+
в матричной форме 
                                      3.4. Каноническая форма двухслойных
                                              итерационных методов

   Если при решении СЛАУ
                      Ax=b                                               (3.22)
                                                            (k+1)
итерационным методом для вычисления вектора решений x              используется только значе-
ния предыдущей итерации x(k), то такой метод называется двухслойным или одношаговым.
Если x(k+1) вычисляется через значения двух итерации x(k) и x(k-1) , то метод называется трех-
слойным или двухшаговым. Здесь рассмотрим только двухслойные методы.
   Отметим, что важную роль в итерационных методах играет запись их в канонической
форме. Для приведения (3.22) к канонической форме представим матрицу системы в виде
                      A=B-C,                                             (3.23)
где В – невырожденная матрица.
Из (3.22) и (3.23) получим
   x=B-1Cx+B-1b.
Тогда итерации можно проводить по формуле
   x(k+1)=x(k)-B-1(Ax(k)-b) или
                      B(x(k+1)-x(k))+ Ax(k)=b .                          (3.24)
Для ускорения сходимости итерационных методов в формулу (3.24) водят числовые пара-
метры, которые могут зависеть от номера итерации. Тогда вместо (3.24) используется
                              x ( k +1) − x ( k )
                        В                         + Ax(k)=b,                                                                     (3.25)
                                     τ k +1
где τ1, τ2,…, τk+1,… - итерационные параметры.
                                     τk+1>0 , k=0, 1, 2,…
   Если В=Е – единичный оператор, то формула (3.25) примет вид
                                                               x ( k +1) − x ( k )
                                                                                   + Ax(k)=b.
                                                                      τ k +1
   Отметим, что в общем случае матрица В может зависеть от номера итерации k , ниже
мы предполагаем, что матрица В не зависит от номера итерации.
   Итерационный метод (3.25) называется стационарным, если τk+1=τ не зависит от номера
итерации, в противном случае – нестационарным.

                        3.4.1. Каноническая форма метода простой итерации

   Для построения канонической формы метода простой итерации [9, 10] систему уравне-
ний (3.22) запишем в виде
                                                         n
                                         1
                        x i( k +1) =        (b −
                                        a ii i
                                                        ∑a
                                                         j=1
                                                                ij
                                                                     x (jk ) ), ( j ≠ i, i = 1, n ) ,                            (3.26)

где aii≠0.
Второй член правой части (3.26) будет
                    n                     n

                  ∑a
                 j=1, j≠ i
                             ij     j = ∑ a ij x j − a ii x i
                                  x (k)
                                         j=1
                                                 (k)        (k)
                                                                = Ax i(k) − Dx i(k) , ,                                          (3.27)

где D=[aii] – диагональная матрица.
Подставляя (3.27) в (3.26) получим
                                                                           n
                                                         1
                                         x i( k +1) =       (b −
                                                        a ii i
                                                                          ∑a
                                                                           j=1
                                                                                 ij
                                                                                      x (jk ) + a ii x i( k ) ), (i = 1, n ) ,

                                                                                           n
                                                                          1
                                              x i( k +1) = x i( k ) +        (b −
                                                                         a ii i
                                                                                         ∑a
                                                                                          j=1
                                                                                                 ij
                                                                                                      x (jk ) ), (i = 1, n )

в матричной форме

Страницы