Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 24 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

=
=
=
α=αα
α
α
=µ
n
1j
ij
i
mm
1i
1j
ij
n
ij
ij
i
max,
1
max ,
б) по l – норме
=
=
ρ
ρ
n
1j
)1k(
j
)k(
j
n
1j
)k(
jj
xx
)1)(s1(
xx
,
где
=+=
α=ααρα=
n
1i
ij
j
ll
n
1ji
ij
j
max,,maxs
.
3.3. Метод релаксации
Имеем систему уравнений
=+++
=+++
=+++
.bxa...xaxa
...............................................
,bxa...xaxa
,bxa...xaxa
nnnn2n21n1
2n2n222121
1n1n212111
(3.19)
Для описания метода релаксации [2, 3, 9, 11] преобразуем систему (3.19) следующим обра-
зом. Перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на -а
11
, второе на -а
22
и т.д. Тогда получим
=+++
=+++
=++++
0,cx...xbxb
.............................................
0,cxb...xxb
0,cxb...xbx
nn2n21n1
2n2n2121
1n1n2121
(3.20)
где b
ij
=-a
ij
/a
ii
, (ij), c
i
=b
i
/a
ii
, (i,j=1, 2,…, n).
Пусть х
(0)
=(
)0(
n
)0(
2
)0(
1
x,...,x,x ) – начальное приближение, тогда подставляя его в (3.20) по-
лучим невязки
+=
+=
+=
=
=
=
1n
1j
)0(
jnj
)0(
nn
)0(
n
n
1j
)0(
jij
)0(
ii
)0(
i
n
2j
)0(
jj1
)0(
11
)0(
1
.xbxcR
..............................................
,ij,xbxcR
............................................
,xbxcR
(3.21)
Если в (3.21) одной из неизвестных
)0(
k
x дать приращение δ
)0(
k
x , то соответствующая невяз-
ка
)0(
k
R уменьшится на δ
)0(
k
x , а остальные невязки
)0(
i
R (iк) увеличатся на величину
b
ik
δ
)0(
k
x , (i=1, 2,…, n; ik; k=1, 2,…,n ).
Следовательно, чтобы обратить невязку
)1(
k
R в нуль, достаточно величине
)0(
k
x дать при-
ращение
δ
)0(
k
x =
)0(
k
R ,
тогда будем иметь следующую систему уравнений на первой итерации