Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 24 стр.

                                                          n
                                                        ∑α           ij                                             n
                                                                                                                 ∑α
                                                         j= i
                                     µ = max                  i −1
                                                                               ≤ α   m
                                                                                       , α    m
                                                                                                   = max                       ij
                                                                                                                                    ,
                                                             ∑α
                                               i                                                          i
                                                       1−                 ij
                                                                                                                    j=1

                                                              j=1

б) по l – норме
                                        n
                                                                                ρ            n

                                       ∑j=1
                                              x j − x (jk ) ≤
                                                                          (1 − s)(1 − ρ)
                                                                                           ∑xj=1
                                                                                                    (k)
                                                                                                    j
                                                                                                              − x (jk −1) ,

где
                                                         n                                                      n
                                       s = max
                                                   j
                                                       ∑
                                                       i = j+1
                                                                 α ij , ρ ≤ α l , α l = max
                                                                                                     j
                                                                                                               ∑α
                                                                                                               i =1
                                                                                                                          ij
                                                                                                                                .


                                                       3.3. Метод релаксации

      Имеем систему уравнений
                        a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 ,
                        
                        a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ,
                                                                                                                                       (3.19)
                        ...............................................
                        a x + a x + ... + a x = b .
                         n1 1          n2 2                nn n         n

Для описания метода релаксации [2, 3, 9, 11] преобразуем систему (3.19) следующим обра-
зом. Перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на -а11, второе на -а22
и т.д. Тогда получим
                     − x 1 + b 12 x 2 + ... + b 1n x n + c1 = 0,
                      b x − x + ... + b x + c = 0,
                      21 1          2            2n n         2
                                                                    (3.20)
                      .............................................
                      b n1 x 1 + b n2 x 2 + ... − x n + c n = 0,
где bij=-aij/aii , (i≠j), ci=bi/aii , (i,j=1, 2,…, n).
   Пусть х(0)=( x 1( 0) , x (20) ,..., x (n0) ) – начальное приближение, тогда подставляя его в (3.20) по-
лучим невязки
                                                     n
                           (0)
                     R 1 = c1 − x 1 +
                                            ( 0)
                                                             ∑
                                                          b 1 j x (j0) ,
                                                    j= 2
                     ............................................
                     ( 0)                        n
                      R
                     i     =  c i
                                   − x ( 0)
                                       i
                                             +         ∑
                                                      b ij x (j0 ) , j ≠ i, (3.21)
                                                j=1
                     ..............................................
                                                    n −1
                           (0)
                     R n = cn − x n +
                                            (0)
                                                              ∑
                                                           b nj x (j0) .
                                                     j=1

Если в (3.21) одной из неизвестных x (k0) дать приращение δ x (k0) , то соответствующая невяз-
ка R (k0) уменьшится на δ x (k0) , а остальные невязки R i( 0)                                                      (i≠к) увеличатся на величину
bikδ x (k0) , (i=1, 2,…, n; i≠k; k=1, 2,…,n ).
   Следовательно, чтобы обратить невязку R (k1) в нуль, достаточно величине x (k0) дать при-
ращение
                                       δ x (k0) = R (k0) ,
тогда будем иметь следующую систему уравнений на первой итерации