Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 22 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

)n,1i(,bxa
n
1j
ijij
=
==
процесс итерации сходится, если выполнены условия теоремы Адамара.
3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации
Теорема 3.2 [3]. Пусть 1<α , тогда выполняется
1k,
1
xx
k
)k(
β
α
α
, (3.12)
где х
(k)
к-ое приближение, хточное решение.
Доказательство
Пусть х
(о)
=(0, 0,…, 0), тогда из (3.11) имеем
х
(k)
=(Е+α+α
2
+…+α
k-1
)β.
Точное решение
х=(Е+
α+α
2
+…+α
k-1
)β+(α
k
+α
k+1
+…)β.
Тогда, вычитая из первого равенства второе и оценивая нормы, получим
β+α+αβ+α+α=
+
+
...)(...xx
1kk
1kk)k(
,
где
α
α
=+α+α
+
1
...
k
1kk
. Тогда имеем
,
1
xx
k
)k(
β
α
α
что и требовалось доказать.
Оценка (3.12) называется априорной оценкой погрешности и позволяет оценить погреш-
ность к-го приближения, не проведя вычислений, используя, нормы
α и β . Также при
заданной точности вычисления
ε можно определить необходимое число итераций из фор-
мулы
β
α
α
=ε
1
k
.
Теорема 3.3 [3]. Пусть 1<α , тогда имеет место неравенство
)1k()k()k(
xx
1
xx
α
α
.
Доказательство
Пусть имеем приведенную систему линейных уравнений
х=
β+αх. (3.13)
Тогда для к-го приближения имеем
х
(к)
=β+αх
(к-1)
. (3.14)
Из (3.13) и (3.14) получим
х
(к)
-х=α(х
(к-1)
-х). (3.15)
Прибавим к левой и правой части этого равенства х
(к-1)
и тогда имеем
х
(к-1)
-х= х
(к-1)
-х
(к)
+α(х
(к-1)
-х). Откуда
α
1
xx
xx
)1k()k(
)1k(
. (3.16)
Из (3.15) получим
xxxx
)1k()k(
α
, (3.17)
тогда из (3.16) и (3.17) имеем