Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

)n,1i(,bxa
n
1j
ijij
∑
=
==
процесс итерации сходится, если выполнены условия теоремы Адамара.
3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации
Теорема 3.2 [3]. Пусть 1<α , тогда выполняется
1k,
1
xx
k
)k(
≥β
α−
α
≤−
, (3.12)
где х
(k)
– к-ое приближение, х – точное решение.
Доказательство
Пусть х
(о)
=(0, 0,…, 0), тогда из (3.11) имеем
х
(k)
=(Е+α+α
2
+…+α
k-1
)β.
Точное решение
х=(Е+
α+α
2
+…+α
k-1
)β+(α
k
+α
k+1
+…)β.
Тогда, вычитая из первого равенства второе и оценивая нормы, получим
β+α+α≤β+α+α=−
+
+
...)(...xx
1kk
1kk)k(
,
где
α−
α
=+α+α
+
1
...
k
1kk
. Тогда имеем
,
1
xx
k
)k(
β
α−
α
≤−
что и требовалось доказать.
Оценка (3.12) называется априорной оценкой погрешности и позволяет оценить погреш-
ность к-го приближения, не проведя вычислений, используя, нормы
α и β . Также при
заданной точности вычисления
ε можно определить необходимое число итераций из фор-
мулы
β
α−
α
=ε
1
k
.
Теорема 3.3 [3]. Пусть 1<α , тогда имеет место неравенство
)1k()k()k(
xx
1
xx
−
−
α−
α
≤−
.
Доказательство
Пусть имеем приведенную систему линейных уравнений
х=
β+αх. (3.13)
Тогда для к-го приближения имеем
х
(к)
=β+αх
(к-1)
. (3.14)
Из (3.13) и (3.14) получим
х
(к)
-х=α(х
(к-1)
-х). (3.15)
Прибавим к левой и правой части этого равенства х
(к-1)
и тогда имеем
х
(к-1)
-х= х
(к-1)
-х
(к)
+α(х
(к-1)
-х). Откуда
α−
−
≤−
−
−
1
xx
xx
)1k()k(
)1k(
. (3.16)
Из (3.15) получим
xxxx
)1k()k(
−α≤−
−
, (3.17)
тогда из (3.16) и (3.17) имеем 
                                                                      n

                                                                    ∑a
                                                                    j=1
                                                                             ij
                                                                                  x j = b i , (i = 1, n )

процесс итерации сходится, если выполнены условия теоремы Адамара.

                              3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации

Теорема 3.2 [3]. Пусть α < 1 , тогда выполняется
                                                           k
                                                       α
                                  x (k ) − x ≤                   β , k ≥ 1,                                              (3.12)
                                                   1− α
    где х(k) – к-ое приближение, х – точное решение.

                                               Доказательство
Пусть х(о)=(0, 0,…, 0), тогда из (3.11) имеем
                                          х(k)=(Е+α+α2+…+αk-1)β.
Точное решение
                                   х=(Е+α+α2+…+αk-1)β+(αk+αk+1+…)β.
Тогда, вычитая из первого равенства второе и оценивая нормы, получим
                                                                   k    k +1
                           x ( k ) − x = α k + α k +1 + ... β ≤ ( α + α      + ...) β ,
                                          k                                                          k
        k        k +1                 α                                       (k )
                                                                                                 α
где α + α               + ... =                 . Тогда имеем x                       −x ≤                  β , что и требовалось доказать.
                                  1− α                                                        1− α
   Оценка (3.12) называется априорной оценкой погрешности и позволяет оценить погреш-
ность к-го приближения, не проведя вычислений, используя, нормы α и β . Также при
заданной точности вычисления ε можно определить необходимое число итераций из фор-
                 k
             α
мулы ε =                β .
            1− α

Теорема 3.3 [3]. Пусть α < 1 , тогда имеет место неравенство
                                                                                      α
                                                               x (k ) − x ≤                  x ( k ) − x ( k −1) .
                                                                                  1− α

                                             Доказательство
Пусть имеем приведенную систему линейных уравнений
                         х=β+αх.                                     (3.13)
Тогда для к-го приближения имеем
                        х(к)=β+αх(к-1).                              (3.14)
Из (3.13) и (3.14) получим
                         х(к)-х=α(х(к-1)-х).                         (3.15)
Прибавим к левой и правой части этого равенства х(к-1) и тогда имеем
   х(к-1)-х= х(к-1)-х(к)+α(х(к-1)-х). Откуда
                                                       x ( k ) − x ( k −1)
                                      ( k −1)
                                  x             −x ≤                              .                                      (3.16)
                                                               1− α
Из (3.15) получим
                                  x ( k ) − x ≤ α x ( k −1) − x ,                                                        (3.17)
тогда из (3.16) и (3.17) имеем

Страницы