ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
,
,...3,2,1,0k,0
xx
),n,1i(,x
ii
n
1j
)k(
jiji
)1k(
i
i
)0(
i
==α
α+β=
=β=
∑
=
+
Итерация заканчивается при выполнении условия
ε≤−
+ )1k(
i
)k(
i
xx , ),n,1i( = где 0<ε<1.
3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических
уравнений
Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно
хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.
Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к
единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая форма матрицы
α меньше
единицы, т.е. для итерационного процесса
х
(k)
= β+αх
(k-1)
(k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть
.1<α
Доказательство
При заданном произвольном векторе х
(о)
, имеем последовательность приближений
х
(1)
= β+αх
(о)
,
х
(2)
= β+αх
(1)
,
……………
х
(k)
= β+αх
(k-1)
.
Откуда
х
(k)
=(Е+α+α
2
+…+α
k-1
)β+α
k
х
(o)
. (3.11)
Так как
1<α , то
0lim
k
k
=α
∞→
и
∞→k
lim (Е+α+α
2
+…+α
k-1
)=
1
0k
k
)E(
−
∞
=
α−=α
∑
,
которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
х=
k
k
хlim
∞→
=(Е-α)
-1
β.
Теорема доказана.
Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
а)
1max
n
1j
ij
i
m
<α=α
∑
=
,
б)
1max
n
1i
ij
j
l
<α=α
∑
=
,
в)
1
n
1i
n
1j
2
ij
k
<α=α
∑∑
==
.
Следствие 3.2. Для системы уравнений
x i( 0 ) = β i , (i = 1, n ), n x i( k +1) = β i + ∑α j=1 ij x (jk ) , α ii = 0, k = 0,1,2,3,... Итерация заканчивается при выполнении условия x i( k ) − x i( k +1) ≤ ε , (i = 1, n ), где 0<ε<1. 3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости. Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая форма матрицы α меньше единицы, т.е. для итерационного процесса х(k)= β+αх(k-1) (k=1,2,…) достаточное условие сходимости есть α < 1. Доказательство При заданном произвольном векторе х(о) , имеем последовательность приближений х(1)= β+αх(о), х(2)= β+αх(1), …………… х(k)= β+αх(k-1). Откуда х(k)=(Е+α+α2+…+αk-1)β+αkх(o). (3.11) k Так как α < 1 , то lim α = 0 и k →∞ ∞ k →∞ 2 lim (Е+α+α +…+α )= k-1 ∑α k =0 k = (E − α ) −1 , которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250). Следовательно, х= lim х k =(Е-α)-1β. k →∞ Теорема доказана. Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если: n а) α m = max i ∑α j=1 ij < 1, n б) α l = max ∑ α ij < 1 , j i =1 n n 2 в) α k = ∑∑ i =1 j=1 α ij <1. Следствие 3.2. Для системы уравнений
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »