Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

,
,...3,2,1,0k,0
xx
),n,1i(,x
ii
n
1j
)k(
jiji
)1k(
i
i
)0(
i
==α
α+β=
=β=
∑
=
+
Итерация заканчивается при выполнении условия
ε≤−
+ )1k(
i
)k(
i
xx , ),n,1i( = где 0<ε<1.
3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических
уравнений
Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно
хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.
Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к
единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая форма матрицы
α меньше
единицы, т.е. для итерационного процесса
х
(k)
= β+αх
(k-1)
(k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть
.1<α
Доказательство
При заданном произвольном векторе х
(о)
, имеем последовательность приближений
х
(1)
= β+αх
(о)
,
х
(2)
= β+αх
(1)
,
……………
х
(k)
= β+αх
(k-1)
.
Откуда
х
(k)
=(Е+α+α
2
+…+α
k-1
)β+α
k
х
(o)
. (3.11)
Так как
1<α , то
0lim
k
k
=α
∞→
и
∞→k
lim (Е+α+α
2
+…+α
k-1
)=
1
0k
k
)E(
−
∞
=
α−=α
∑
,
которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
х=
k
k
хlim
∞→
=(Е-α)
-1
β.
Теорема доказана.
Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
а)
1max
n
1j
ij
i
m
<α=α
∑
=
,
б)
1max
n
1i
ij
j
l
<α=α
∑
=
,
в)
1
n
1i
n
1j
2
ij
k
<α=α
∑∑
==
.
Следствие 3.2. Для системы уравнений 
                                                             x i( 0 ) = β i , (i = 1, n ),
                                                                                n
                                                          x i( k +1) = β i +   ∑α
                                                                               j=1
                                                                                       ij
                                                                                            x (jk ) ,

                                                           α ii = 0, k = 0,1,2,3,...
Итерация заканчивается при выполнении условия
                             x i( k ) − x i( k +1) ≤ ε , (i = 1, n ), где 0<ε<1.

  3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических
                                    уравнений

   Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно
хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.

Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к
единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая форма матрицы α меньше
единицы, т.е. для итерационного процесса
                                 х(k)= β+αх(k-1) (k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть
                                                                        α < 1.

                                      Доказательство
При заданном произвольном векторе х(о) , имеем последовательность приближений
   х(1)= β+αх(о),
   х(2)= β+αх(1),
   ……………
   х(k)= β+αх(k-1).
Откуда
                    х(k)=(Е+α+α2+…+αk-1)β+αkх(o).                  (3.11)
                         k
Так как α < 1 , то lim α = 0 и
                                         k →∞
                                                                                      ∞

                                                   k →∞
                                                             2
                                                   lim (Е+α+α +…+α )=
                                                                          k-1
                                                                                     ∑α
                                                                                     k =0
                                                                                                k
                                                                                                    = (E − α ) −1 ,

которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
                                        х= lim х k =(Е-α)-1β.
                                                                 k →∞

    Теорема доказана.

Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
                             n
а) α   m
           = max
                   i
                           ∑α
                            j=1
                                    ij
                                         < 1,

                            n
б) α l = max ∑ α ij < 1 ,
               j
                           i =1
                       n     n           2
в) α   k
           =   ∑∑
               i =1 j=1
                                  α ij       <1.


Следствие 3.2. Для системы уравнений

Страницы