Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 21 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

,
,...3,2,1,0k,0
xx
),n,1i(,x
ii
n
1j
)k(
jiji
)1k(
i
i
)0(
i
==α
α+β=
=β=
=
+
Итерация заканчивается при выполнении условия
ε
+ )1k(
i
)k(
i
xx , ),n,1i( = где 0<ε<1.
3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических
уравнений
Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно
хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.
Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к
единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая форма матрицы
α меньше
единицы, т.е. для итерационного процесса
х
(k)
= β+αх
(k-1)
(k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть
.1<α
Доказательство
При заданном произвольном векторе х
(о)
, имеем последовательность приближений
х
(1)
= β+αх
(о)
,
х
(2)
= β+αх
(1)
,
……………
х
(k)
= β+αх
(k-1)
.
Откуда
х
(k)
=(Е+α+α
2
+…+α
k-1
)β+α
k
х
(o)
. (3.11)
Так как
1<α , то
0lim
k
k
=α
и
k
lim (Е+α+α
2
+…+α
k-1
)=
1
0k
k
)E(
=
α=α
,
которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
х=
k
k
хlim
=(Е-α)
-1
β.
Теорема доказана.
Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
а)
1max
n
1j
ij
i
m
<α=α
=
,
б)
1max
n
1i
ij
j
l
<α=α
=
,
в)
1
n
1i
n
1j
2
ij
k
<α=α
∑∑
==
.
Следствие 3.2. Для системы уравнений