Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 19 стр.

Достаточные условия устойчивости метода прогонки. Для устойчивости метода прогон-
ки достаточно выполнение неравенств:
      c1 ≥ d 1 ,

      c i ≥ a i + d i , i = 2, n − 1;

      сn ≥ a n .

    Рассмотренный здесь вариант метода прогонки называется правой прогонкой. Название
метода следует из того, что при обратном ходе неизвестные xi вычисляются справа налево,
т.е. сначала xn , xn-1 и т.д.
    Существует метод левой прогонки, в котором неизвестные xi вычисляются слева напра-
во, т.е. сначала х1 , х2 и так далее.
    Комбинация левой и правой прогонок дает метод встречных прогонок.

                              Глава 3. Итерационные методы решения систем
                                       линейных алгебраических уравнений

   В главе будут описаны итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений
                    Ax=b.                                        (3.1)
При решении системы уравнений (3.1) итерационным методом отыскивается последователь-
ность векторов x(k) такая, что
                         (k )
                    lim x = x.                                   (3.2)
                               k →∞

Введем понятие вектора погрешности
                   z(k) =x(k)-x                                                                  (3.3)
и вектора невязок
                   R(k)=Ax(k)-b .                                                                (3.4)
Из формулы (3.2) следуют, что
                                                        lim z ( k ) = 0,      lim R ( k ) = 0.
                                                        k →∞                  k →∞

   Отметим, что в отличие от вектора погрешности z(k) вектор невязок R(k) может быть
вычислен. Поэтому очень часто в качестве условия окончания итераций выбирают
                   R ( k ) ≤ ε , где 0<ε<1.                        (3.5)
     Условие (3.5) является не вполне корректным, покажем это. Действительно, из (3.3) име-
ем
                                                             Az(k)=Ax(k)-b= R(k) ,
                                                                z(k)=A-1 R(k) ,
                                                                 z ( k ) ≤ A −1 R ( k ) .
С другой стороны
                                                                     b ≤ A x.
Следовательно,
                                                           b z ( k ) ≤ A A −1 x R ( k )
или
                               z (k)              R (k )
                                        ≤ γ (A)              ,                                   (3.6)
                                 x                  b
где γ (A) = A A −1 – число обусловленности матрицы А. Из (3.6) следует, что лишь для хо-
рошо обусловленных систем (3.1) относительная малость векторов невязок R(k) влечет за со-