Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 19 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Достаточные условия устойчивости метода прогонки. Для устойчивости метода прогон-
ки достаточно выполнение неравенств:
;1n,2i,dac
,dc
iii
11
=+
.aс
nn
Рассмотренный здесь вариант метода прогонки называется правой прогонкой. Название
метода следует из того, что при обратном ходе неизвестные x
i
вычисляются справа налево,
т.е. сначала x
n
, x
n-1
и т.д.
Существует метод левой прогонки, в котором неизвестные x
i
вычисляются слева напра-
во, т.е. сначала х
1
, х
2
и так далее.
Комбинация левой и правой прогонок дает метод встречных прогонок.
Глава 3. Итерационные методы решения систем
линейных алгебраических уравнений
В главе будут описаны итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений
Ax=b. (3.1)
При решении системы уравнений (3.1) итерационным методом отыскивается последователь-
ность векторов x
(k)
такая, что
.xxlim
)k(
k
=
(3.2)
Введем понятие вектора погрешности
z
(k)
=x
(k)
-x (3.3)
и вектора невязок
R
(k)
=Ax
(k)
-b . (3.4)
Из формулы (3.2) следуют, что
,0zlim
)k(
k
=
.0Rlim
)k(
k
=
Отметим, что в отличие от вектора погрешности z
(k)
вектор невязок R
(k)
может быть
вычислен. Поэтому очень часто в качестве условия окончания итераций выбирают
ε
)k(
R , где 0<ε<1. (3.5)
Условие (3.5) является не вполне корректным, покажем это. Действительно, из (3.3) име-
ем
Az
(k)
=Ax
(k)
-b= R
(k)
,
z
(k)
=A
-1
R
(k)
,
.RAz
)k(1)k(
С другой стороны
.xAb
Следовательно,
)k(1)k(
RxAAzb
или
b
R
)A(
x
z
)k()k(
γ , (3.6)
где
1
AA)A(
=γ
число обусловленности матрицы А. Из (3.6) следует, что лишь для хо-
рошо обусловленных систем (3.1) относительная малость векторов невязок R
(k)
влечет за со-