Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 18 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

==+
=+
==
+
.ni,bxcxa
...........................................
,1ni2,bxdxcxa
.......................................
,1i,bxdxc
nnn1nn
i1iiii1ii
12111
(2.35)
Решение (2.35) будем искать в виде
x
i
=α
i
x
i+1
+β
i
, (2.36)
где
α
i
, β
i
неизвестные прогоночные коэффициенты. Подставив, найденные из (2.36) x
i-1
в
среднее уравнение из системы (2.35), получим для 2
in-1 :
.
ac
ab
x
ac
d
x
i1ii
i1ii
1i
i1ii
i
i
+
α
β+
+
α
=
(2.37)
Из сравнения (2.36) и (2.37) следует, что
,
ac
d
i1ii
i
i
α
=α
.
ac
ab
i1ii
i1ii
i
α
β+
=β
(2.38)
Зная
α
1
, β
1
по формулам (2.38) можно найти все α
i
, β
i
для i=2, 3,…, n, то есть провес-
ти прямой ход прогонки.
Если удастся найти x
n
, то по формуле (2.36) при известных α
i
, β
i
можно вычислить не-
известные
x
i
для i=n-1, n-2,…, 1, то есть провести обратный ход прогонки. Поэтому дальше
определяем
α
1
, β
1
и x
n
.
Из первого уравнения системы (2.35) найдем
,
c
b
x
c
d
x
1
1
2
1
1
1
+=
что вместе с уравнением
х
1
=α
1
х
2
+β
1
из (2.36) при i=1 дает
,
c
d
1
1
1
=α .
c
b
1
1
1
=β (2.39)
Далее, из последнего уравнения системы (2.35) и из (2.36) при i=n-1 имеем систему
уравнений
β=α
=+
,xx
,bxcxa
1nn1n1n
nnn1nn
откуда находим
.
ac
ab
x
n
n1nn
n1nn
n
β=
α
β+
=
(2.40)
Таким образом, алгоритм метода прогонки при решении СЛАУ (2.35) заключается в сле-
дующем:
1)
по формулам (2.39) и (2.38) вычисляются коэффициенты α
i
, β
i
для i=1, 2,…,n (прямой
ход);
2) по формулам (2.40) и (2.36) вычисляются неизвестные x
i
для i=n-1, n-2,…, 1 (обратный
ход).
Метод прогонки реализуется, если нет деления на нуль в формулах (2.38)-(2.40). Для вы-
полнения этого условия достаточно, чтобы detA
0.
Так как при использовании метода прогонки заранее неизвестен detA
, то необходим
простой способ оценки устойчивости метода.