Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 18 стр.

                          c 1 x 1 − d 1 x 2 = b 1 , i = 1,
                         .......................................
                 
                 − a x + c x − d x = b ,2 ≤ i ≤ n − 1,
                  i i −1      i i        i i +1         i
                                                                                                (2.35)
                       ...........................................
                 
                     − a n x n −1 + c n x n = b n , i = n.
Решение (2.35) будем искать в виде
                     xi=αixi+1+βi ,                               (2.36)
где αi , βi – неизвестные прогоночные коэффициенты. Подставив, найденные из (2.36) xi-1 в
среднее уравнение из системы (2.35), получим для 2≤i≤n-1 :
                                         di                   b i + β i −1 a i
                      xi =                        x i +1 +                       .              (2.37)
                               c i − α i −1 a i               c i − α i −1 a i
Из сравнения (2.36) и (2.37) следует, что
                               di                       b i + β i −1 a i
                 αi =                         , βi =                        .                   (2.38)
                         c i − α i −1 a i               c i − α i −1 a i
    Зная α1 , β1 по формулам (2.38) можно найти все αi , βi для i=2, 3,…, n, то есть провес-
ти прямой ход прогонки.
    Если удастся найти xn , то по формуле (2.36) при известных αi , βi можно вычислить не-
известные xi для i=n-1, n-2,…, 1, то есть провести обратный ход прогонки. Поэтому дальше
определяем α1 , β1 и xn .
    Из первого уравнения системы (2.35) найдем
                                                                       d1              b1
                                                               x1 =             x2 +        ,
                                                                       c1              c1
что вместе с уравнением
                                                                   х1=α1х2+β1
из (2.36) при i=1 дает
                               d1                    b1
                      α1 =           ,        β1 =        .                                     (2.39)
                                c1                   c1
   Далее, из последнего уравнения системы (2.35) и из (2.36) при i=n-1 имеем систему
уравнений
                                                        − a n x n −1 + c n x n = b n ,
                                                         x −α x =β ,
                                                          n −1       n −1 n     n −1

откуда находим
                         b n + β n −1 a n
                 xn =                          = βn .                                           (2.40)
                         c n − α n −1 a n
   Таким образом, алгоритм метода прогонки при решении СЛАУ (2.35) заключается в сле-
дующем:
1) по формулам (2.39) и (2.38) вычисляются коэффициенты αi , βi для i=1, 2,…,n (прямой
   ход);
2) по формулам (2.40) и (2.36) вычисляются неизвестные xi для i=n-1, n-2,…, 1 (обратный
   ход).
   Метод прогонки реализуется, если нет деления на нуль в формулах (2.38)-(2.40). Для вы-
полнения этого условия достаточно, чтобы detA≠0.
   Так как при использовании метода прогонки заранее неизвестен detA , то необходим
простой способ оценки устойчивости метода.