Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

==+−
−≤≤=−+−
==−
−
+−
.ni,bxcxa
...........................................
,1ni2,bxdxcxa
.......................................
,1i,bxdxc
nnn1nn
i1iiii1ii
12111
(2.35)
Решение (2.35) будем искать в виде
x
i
=α
i
x
i+1
+β
i
, (2.36)
где
α
i
, β
i
– неизвестные прогоночные коэффициенты. Подставив, найденные из (2.36) x
i-1
в
среднее уравнение из системы (2.35), получим для 2
≤i≤n-1 :
.
ac
ab
x
ac
d
x
i1ii
i1ii
1i
i1ii
i
i
−
−
+
−
α−
β+
+
α−
=
(2.37)
Из сравнения (2.36) и (2.37) следует, что
,
ac
d
i1ii
i
i
−
α−
=α
.
ac
ab
i1ii
i1ii
i
−
−
α−
β+
=β
(2.38)
Зная
α
1
, β
1
по формулам (2.38) можно найти все α
i
, β
i
для i=2, 3,…, n, то есть провес-
ти прямой ход прогонки.
Если удастся найти x
n
, то по формуле (2.36) при известных α
i
, β
i
можно вычислить не-
известные
x
i
для i=n-1, n-2,…, 1, то есть провести обратный ход прогонки. Поэтому дальше
определяем
α
1
, β
1
и x
n
.
Из первого уравнения системы (2.35) найдем
,
c
b
x
c
d
x
1
1
2
1
1
1
+=
что вместе с уравнением
х
1
=α
1
х
2
+β
1
из (2.36) при i=1 дает
,
c
d
1
1
1
=α .
c
b
1
1
1
=β (2.39)
Далее, из последнего уравнения системы (2.35) и из (2.36) при i=n-1 имеем систему
уравнений
β=α−
=+−
−−−
−
,xx
,bxcxa
1nn1n1n
nnn1nn
откуда находим
.
ac
ab
x
n
n1nn
n1nn
n
β=
α−
β+
=
−
−
(2.40)
Таким образом, алгоритм метода прогонки при решении СЛАУ (2.35) заключается в сле-
дующем:
1)
по формулам (2.39) и (2.38) вычисляются коэффициенты α
i
, β
i
для i=1, 2,…,n (прямой
ход);
2) по формулам (2.40) и (2.36) вычисляются неизвестные x
i
для i=n-1, n-2,…, 1 (обратный
ход).
Метод прогонки реализуется, если нет деления на нуль в формулах (2.38)-(2.40). Для вы-
полнения этого условия достаточно, чтобы detA
≠0.
Так как при использовании метода прогонки заранее неизвестен detA
, то необходим
простой способ оценки устойчивости метода. 
                          c 1 x 1 − d 1 x 2 = b 1 , i = 1,
                         .......................................
                 
                 − a x + c x − d x = b ,2 ≤ i ≤ n − 1,
                  i i −1      i i        i i +1         i
                                                                                                (2.35)
                       ...........................................
                 
                     − a n x n −1 + c n x n = b n , i = n.
Решение (2.35) будем искать в виде
                     xi=αixi+1+βi ,                               (2.36)
где αi , βi – неизвестные прогоночные коэффициенты. Подставив, найденные из (2.36) xi-1 в
среднее уравнение из системы (2.35), получим для 2≤i≤n-1 :
                                         di                   b i + β i −1 a i
                      xi =                        x i +1 +                       .              (2.37)
                               c i − α i −1 a i               c i − α i −1 a i
Из сравнения (2.36) и (2.37) следует, что
                               di                       b i + β i −1 a i
                 αi =                         , βi =                        .                   (2.38)
                         c i − α i −1 a i               c i − α i −1 a i
    Зная α1 , β1 по формулам (2.38) можно найти все αi , βi для i=2, 3,…, n, то есть провес-
ти прямой ход прогонки.
    Если удастся найти xn , то по формуле (2.36) при известных αi , βi можно вычислить не-
известные xi для i=n-1, n-2,…, 1, то есть провести обратный ход прогонки. Поэтому дальше
определяем α1 , β1 и xn .
    Из первого уравнения системы (2.35) найдем
                                                                       d1              b1
                                                               x1 =             x2 +        ,
                                                                       c1              c1
что вместе с уравнением
                                                                   х1=α1х2+β1
из (2.36) при i=1 дает
                               d1                    b1
                      α1 =           ,        β1 =        .                                     (2.39)
                                c1                   c1
   Далее, из последнего уравнения системы (2.35) и из (2.36) при i=n-1 имеем систему
уравнений
                                                        − a n x n −1 + c n x n = b n ,
                                                         x −α x =β ,
                                                          n −1       n −1 n     n −1

откуда находим
                         b n + β n −1 a n
                 xn =                          = βn .                                           (2.40)
                         c n − α n −1 a n
   Таким образом, алгоритм метода прогонки при решении СЛАУ (2.35) заключается в сле-
дующем:
1) по формулам (2.39) и (2.38) вычисляются коэффициенты αi , βi для i=1, 2,…,n (прямой
   ход);
2) по формулам (2.40) и (2.36) вычисляются неизвестные xi для i=n-1, n-2,…, 1 (обратный
   ход).
   Метод прогонки реализуется, если нет деления на нуль в формулах (2.38)-(2.40). Для вы-
полнения этого условия достаточно, чтобы detA≠0.
   Так как при использовании метода прогонки заранее неизвестен detA , то необходим
простой способ оценки устойчивости метода.

Страницы