Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 16 стр.

                       A=LU,                                                                                     (2.20)
где
                                  l11 0             L   0          1 u 12                      L u 1n 
                                                                                                      
                                 l    l             L 0           0   1                        L u 2n 
                              L=  21 22                      , U=                                       .
                                 
                                   L L               L L
                                                                     L L                         L L
                                                                                                        
                                 l                  L l nn                                    L 1 
                                  n1 l n 2                         0   0
Тогда согласно формуле (2.20) элементы lij , uij определяются по формулам
                          l i1 = a i1 ,
                  
                  
                                    j−1
                                                      (i≥j>1).                                                   (2.21)
                    l
                   ij
                  
                        = a  ij
                                 −∑ k =1
                                          l ik u kj

                           a 1j
                  u 1 j =         , ( j = 1, n ), u ii = 1, (i = 2, n ),
                            l11
                                              i −1
                                                                                                                 (2.22)
                   u = 1 (a − l u ), (1 < i < j).
                   ij l               ij∑          ik kj
                               ii            k =1

Далее искомый вектор х вычисляется решением двух систем уравнений
   Ly=b,
   Ux=y.
Так как матрицы L и U треугольные, эти системы решаются по формулам
                                        a
                               y 1 = 1n −1 ,
                                          l11
                                    i −1
                                                                                                                (2.23)
                                       ∑
                          a in −1 − b ik y k
                     y =           k =1
                                               , (i > 1),
                      i           l ii
где ain+1=bi , (i=1,…,n).
                         x n = yn ,
                  
                  x = y −
                              n
                                                                                                                 (2.24)
                   i
                  
                        i
                           k = i +1
                                   ∑
                                   u ik x k , (i < n ).

Формулы (2.21)-(2.24) составляют алгоритм метода.

                                         2.6. Метод квадратных корней

    Метод квадратных корней [2, 3, 11] применяется при решении системы уравнений
                   Ах=b,                                           (2.25)
                                           Т
когда матрица А – симметричная, т.е. А=А , (aij=aji). При detA≠0 согласно «теореме о LU
разложении» (см. §1.3) можно записать A=LU, где U=T, L=TT. Тогда
    А=ТТ Т,                                          (2.26)
где
                                t 11      t 12 L t 1n                     t 11           0      L 0 
                                                                                                        
                                0         t 22 L t 2 n                 Т  t 12          t 22    L 0 
                            Т=                           ,             Т =                                 .
                                 L         L L L                            L             L       L L
                                                                                                        
                                0          0 L t nn                     t              t 2n    L t nn 
                                                                           1n
Расписывая, формулу (2.26) получим формулы для вычисления tij
                                         t 1i t 1 j + t 2i t 2 j + ... + t ii t jj = a ij , (i < j),
                                          
                                                 t 12i + t 22i + ... + t ii2 = a ii , (i = j).
Отсюда находим