ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
detA=a
11
)1(
22
a
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
)2(
33
n223
aa0
aa0
1
L
LLLL
L
L
αα
= a
11
)1(
22
a
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
)2(
33
aa
aa
L
LLL
L
.
Повторим описанную выше процедуру, тогда получим
detA=a
11
)1(
22
a
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
)2(
33
aa
aa
L
LLL
L
= a
11
)1(
22
a
)2(
33
a
)3(
nn
)3(
4n
)3(
n4
)3(
44
aa
aa
L
LLL
L
и т.д. пока не получим
detA=a
11
)1(
22
a
)2(
33
a
.
…
.
)1n(
nn
a
−
, (2.14)
где
)1k(
kk
a
−
=
)2k(
kk
a
−
-
)2k(
1kk
a
−
−
α
к-1к
, α
к-1к
=
)2k(
k1k
a
−
−
/
)2k(
1k1k
a
−
−−
,
(k=2, 3,…,n).
Замечание 2.2. Если при detA
≠
0 условия (2.11) не выполнены, то реализация процесса ис-
ключения включает в себя перестановки соответствующих строк. При этом измениться
только знак определителя, так как перестановка двух строк влечет перемену знака опреде-
лителя. Для сохранения нужного знака определителя надо в формуле (2.11) приписывать
нужный знак ведущим элементам, которые вычислялись с перестановкой строк.
2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы
Из линейной алгебры известно, что
АА
-1
=Е , (2.15)
где Е – единичная матрица, А
-1
– обратная матрица.
Если обозначить i-й
столбец обратной матрицы через y
i
=
ni
i1
y
y
M
, а i-й
столбец единичной
матрицы через е
i
=
ni
i1
е
е
M
, то (2.15) можно переписать в виде
АА
-1
=(Ау
1
, Ау
2
,…, Ау
n
)=(е
1
, е
2
,…, е
n
)=Е или
Аy
i
=e
i
, (i=1, 2, …, n).
Рассмотрим расширенную матрицу
100aaa
010aaa
001ааа
nn2n1n
n22221
n11211
LL
LLLLLLLL
LL
LL
. (2.16)
Процесс исключения (прямой ход) будем проводить для всех строк расширенной матрицы
(2.16).
Пусть а
11
≠0, тогда первая строка матрицы (2.16) будет такой после деления на а
11
(1, α
12
, α
13
,…, α
1n
, β
11
, β
12
,…, β
1n
), (2.17)
где
α
1j
=a
1j
/a
11
, (j>1), β
1j
=e
1j
/a
11
, (j≥1).
С помощью строки (2.17) исключим все элементы первого столбца a
i1
матрицы (2.16) для
которых i>1. В результате получим
1 α 23 L α 2n
( 2)
( 2) a 33 L a 3( 2n)
0 a 33 L a 3( 2n)
detA=a11 a (1) = a11 a (1) L L L .
22 L L L L 22
a (n23) L a (nn2)
0 a (n23) ( 2)
L a nn
Повторим описанную выше процедуру, тогда получим
( 2)
a 33 L a 3( 2n) a (443) L a (43n)
detA=a11 a (1) L L L = a11 a (221) a 33
( 2)
L L L
22
a (n23) ( 2)
L a nn a (n34) L a (nn3)
и т.д. пока не получим
detA=a11 a (1) a ( 2) .…. a ( n −1) , (2.14)
22 33 nn
где a (kkk −1) = a (kkk − 2) - a (kkk −−21) αк-1к , αк-1к= a (kk−−1k2) / a (kk−−1k2)−1 ,
(k=2, 3,…,n).
Замечание 2.2. Если при detA≠0 условия (2.11) не выполнены, то реализация процесса ис-
ключения включает в себя перестановки соответствующих строк. При этом измениться
только знак определителя, так как перестановка двух строк влечет перемену знака опреде-
лителя. Для сохранения нужного знака определителя надо в формуле (2.11) приписывать
нужный знак ведущим элементам, которые вычислялись с перестановкой строк.
2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы
Из линейной алгебры известно, что
АА-1=Е , (2.15)
где Е – единичная матрица, А-1 – обратная матрица.
y
1i
Если обозначить i-й столбец обратной матрицы через yi= M , а i-й столбец единичной
y ni
е
1i
матрицы через еi= M , то (2.15) можно переписать в виде
е ni
АА-1=(Ау1, Ау2,…, Ауn)=(е1, е2,…, еn)=Е или
Аyi=ei , (i=1, 2, …, n).
Рассмотрим расширенную матрицу
а 11 а 12 L а 1n 1 0 0 L
a 21 a 22 L a 2n 0 1 L 0
L . (2.16)
L L L L L L L
a a n2 L a nn 0 0 L 1
n1
Процесс исключения (прямой ход) будем проводить для всех строк расширенной матрицы
(2.16).
Пусть а11≠0, тогда первая строка матрицы (2.16) будет такой после деления на а11
(1, α12, α13,…, α1n, β11, β12,…, β1n ), (2.17)
где α1j=a1j/a11, (j>1), β1j=e1j/a11 , (j≥1).
С помощью строки (2.17) исключим все элементы первого столбца ai1 матрицы (2.16) для
которых i>1. В результате получим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
