Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 14 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

detA=a
11
)1(
22
a
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
)2(
33
n223
aa0
aa0
1
L
LLLL
L
L
αα
= a
11
)1(
22
a
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
)2(
33
aa
aa
L
LLL
L
.
Повторим описанную выше процедуру, тогда получим
detA=a
11
)1(
22
a
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
)2(
33
aa
aa
L
LLL
L
= a
11
)1(
22
a
)2(
33
a
)3(
nn
)3(
4n
)3(
n4
)3(
44
aa
aa
L
LLL
L
и т.д. пока не получим
detA=a
11
)1(
22
a
)2(
33
a
.
.
)1n(
nn
a
, (2.14)
где
)1k(
kk
a
=
)2k(
kk
a
-
)2k(
1kk
a
α
к-1к
, α
к-1к
=
)2k(
k1k
a
/
)2k(
1k1k
a
,
(k=2, 3,…,n).
Замечание 2.2. Если при detA
0 условия (2.11) не выполнены, то реализация процесса ис-
ключения включает в себя перестановки соответствующих строк. При этом измениться
только знак определителя, так как перестановка двух строк влечет перемену знака опреде-
лителя. Для сохранения нужного знака определителя надо в формуле (2.11) приписывать
нужный знак ведущим элементам, которые вычислялись с перестановкой строк.
2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы
Из линейной алгебры известно, что
АА
-1
=Е , (2.15)
где Еединичная матрица, А
-1
обратная матрица.
Если обозначить i-й
столбец обратной матрицы через y
i
=
ni
i1
y
y
M
, а i-й
столбец единичной
матрицы через е
i
=
ni
i1
е
е
M
, то (2.15) можно переписать в виде
АА
-1
=(Ау
1
, Ау
2
,…, Ау
n
)=(е
1
, е
2
,…, е
n
)=Е или
Аy
i
=e
i
, (i=1, 2, …, n).
Рассмотрим расширенную матрицу
100aaa
010aaa
001ааа
nn2n1n
n22221
n11211
LL
LLLLLLLL
LL
LL
. (2.16)
Процесс исключения (прямой ход) будем проводить для всех строк расширенной матрицы
(2.16).
Пусть а
11
0, тогда первая строка матрицы (2.16) будет такой после деления на а
11
(1, α
12
, α
13
,…, α
1n
, β
11
, β
12
,…, β
1n
), (2.17)
где
α
1j
=a
1j
/a
11
, (j>1), β
1j
=e
1j
/a
11
, (j1).
С помощью строки (2.17) исключим все элементы первого столбца a
i1
матрицы (2.16) для
которых i>1. В результате получим