Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 14 стр.

                                                              1         α 23         L α 2n
                                                                                                              ( 2)
                                                                          ( 2)                              a 33        L a 3( 2n)
                                                             0          a 33         L a 3( 2n)
                                      detA=a11 a (1)                                            = a11 a (1) L           L     L         .
                                                        22   L L                     L L                22
                                                                                                            a (n23)     L    a (nn2)
                                                             0 a (n23)                    ( 2)
                                                                                     L a nn
Повторим описанную выше процедуру, тогда получим
                                                                ( 2)
                                                              a 33         L a 3( 2n)                         a (443)   L a (43n)
                                       detA=a11 a (1) L                    L L = a11 a (221) a 33
                                                                                               ( 2)
                                                                                                     L                  L     L
                                                  22
                                                              a (n23)          ( 2)
                                                                           L a nn                   a (n34)             L a (nn3)
и т.д. пока не получим
                 detA=a11 a (1) a ( 2) .…. a ( n −1) ,                                                                                 (2.14)
                            22    33         nn

где a (kkk −1) = a (kkk − 2) - a (kkk −−21) αк-1к , αк-1к= a (kk−−1k2) / a (kk−−1k2)−1 ,
    (k=2, 3,…,n).

Замечание 2.2. Если при detA≠0 условия (2.11) не выполнены, то реализация процесса ис-
ключения включает в себя перестановки соответствующих строк. При этом измениться
только знак определителя, так как перестановка двух строк влечет перемену знака опреде-
лителя. Для сохранения нужного знака определителя надо в формуле (2.11) приписывать
нужный знак ведущим элементам, которые вычислялись с перестановкой строк.

                                         2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы

   Из линейной алгебры известно, что
                   АА-1=Е ,                                                                                                        (2.15)
где Е – единичная матрица, А-1 – обратная матрица.
                                                           y 
                                                            1i 
Если обозначить i-й столбец обратной матрицы через yi=  M  , а i-й столбец единичной
                                                                 
                                                             y ni 
                  е 
                   1i 
матрицы через еi=  M  , то (2.15) можно переписать в виде
                   
                    е ni 
АА-1=(Ау1, Ау2,…, Ауn)=(е1, е2,…, еn)=Е или
Аyi=ei , (i=1, 2, …, n).
   Рассмотрим расширенную матрицу
                                      а 11     а 12     L а 1n                  1 0   0    L
                                                                                     
                                      a 21     a 22     L a 2n              0 1 L 0
                                     L                                                 .                                              (2.16)
                                                 L       L        L          L L L L
                                                                                     
                                     a         a n2     L a nn              0 0 L 1 
                                      n1
Процесс исключения (прямой ход) будем проводить для всех строк расширенной матрицы
(2.16).
    Пусть а11≠0, тогда первая строка матрицы (2.16) будет такой после деления на а11
                      (1, α12, α13,…, α1n, β11, β12,…, β1n ),         (2.17)
где α1j=a1j/a11, (j>1), β1j=e1j/a11 , (j≥1).
С помощью строки (2.17) исключим все элементы первого столбца ai1 матрицы (2.16) для
которых i>1. В результате получим