Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 15 стр.

                             1 α 12         α 13 L α 1n                      β11         β12         L β1n 
                                 (1)
                                                                                                                 
                             0 a 22         a (231)       L      a (21n)     e (211)     e (221)     L e (21n) 
                            L L                                                                                   ,                     (2.18)
                                              L            L       L           L           L          L L
                                                                                                                
                             0 a (1)        a (n13)       L a (nn1)          e (n11)     e (n12)     L e (nn1) 
                                 n2

где a ij(1) =aij-ai1α1j , (i, j≥2), e ij(1) =eij-ei1β1j , (i≥2, j≥1).
На следующем этапе разделим вторую строку матрицы (2.18) на a (221) ≠0, тогда эта строка
примет вид
                           (0, 1, α23, α24,…, α2n, β21, β22,…, β2n ), (2.19)
где α2j= a 2 j / a 22 , (j>2), β2j= e 2 j / a 22 , (j≥1).
           (1)     (1)                (1)     (1)


Используя строку (2.19) исключим все элементы второго столбца a i(12) при i>2 матрицы
(2.18). Тогда получим
                                           1 α 12              α 13         L α 1n                 β11       β12       L β1n 
                                                                                                                                   
                                          0 1                  α 23         L α 2n                 β 21      β 22      L β 2n 
                                                                                                                                   
                                          0   0                  ( 2)
                                                                a 33         L a ( 2)                 ( 2)
                                                                                                    e 31        ( 2)
                                                                                                              e 32      L e ( 2)  ,
                                                                                 3n                                         3n
                                          L L                   L           L L                     L         L        L L
                                                                                                                                   
                                          0   0                a (n23)      L a (nn2 )             e (n21)   e (n22)   L e (nn2 ) 
                                          
где a ij( 2) = a ij(1) - a i(12) α2j , (i, j≥3),           e ij( 2 ) = e ij(1) - a i(12) β2j , (i≥3, j≥1).
Продолжая, таким образом, окончательно получим
                                         1 α 12 α 13 L                                 α 1n        β11       β12       L β1n 
                                                                                                                               
                                        0 1          α 23 L                            α 2n        β 21      β 22      L β 2n 
                                        0    0 1                L                      α 3n        β 31      β 32      L β 3n  ,
                                        
                                        L L L L                                        L           L         L         L L
                                                                                                                              
                                         0   0          0 L                             1          β n1      β n2      L β nn 
где αkj= a (kjk −1) / a (kkk −1) , (j≥k+1), βkj= e (kjk −1) / a (kkk −1)                , (j≥1),
                       a ij( k ) = a ij( k −1) - a ik( k −1) αkj , (i, j≥k+1),                 e ij( k ) = e ij( k −1) - a ik( k −1) βkj , (i≥k+1, j≥1).
На этом заканчивается процесс исключения – прямой ход. Дальше реализуется обратный
ход, для этого решается система уравнений
                                 1 α 12           α 13        L             α 1n   y 1i   β1i 
                                                                                                       
                                0   1             α 23 L                    α 2 n   y 2i   β 2i 
                                L L                                                                     
                                                       L       L             L   M  =  M  , (i=1, 2,…,n),
                                                                                   
                                0   0                 0       L            α n −1n   y n −1i   β n −1i 
                                                                                                       
                                0   0                 0       L              1   y ni   β ni 
что позволяет найти все столбцы обратной матрицы А-1
                                                                      у 11      y 1n 
                                                                                     
                                                                      у 21      y 2n 
                                                                 у1=   ,…, yn=         .
                                                                        M           M 
                                                                                     
                                                                     у         y 
                                                                      n1        nn 

                                                                 2.5. Метод Халецкого

   При решении системы уравнений Ax=b методом Халецкого [2-4, 10,11] используется
«теорема о LU разложении» (см. §1.3) согласно которой можно написать