Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 15 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

βββααα
)1(
nn
)1(
2n
)1(
1n
)1(
nn
)1(
3n
)1(
2n
)1(
n2
)1(
22
)1(
21
)1(
n2
)1(
23
)1(
22
n11211n11312
eeeaaa0
eeeaaa0
1
LL
LLLLLLLLL
LL
LL
, (2.18)
где
)1(
ij
a =a
ij
-a
i1
α
1j
, (i, j2),
)1(
ij
e =e
ij
-e
i1
β
1j
, (i2, j1).
На следующем этапе разделим вторую строку матрицы (2.18) на
)1(
22
a
0, тогда эта строка
примет вид
(0, 1,
α
23
, α
24
,…, α
2n
, β
21
, β
22
,…, β
2n
), (2.19)
где
α
2j
=
)1(
j2
a /
)1(
22
a , (j>2), β
2j
=
)1(
j2
e /
)1(
22
a , (j1).
Используя строку (2.19) исключим все элементы второго столбца
)1(
2i
a
при i>2 матрицы
(2.18). Тогда получим
βββα
α
βββααα
)2(
nn
)2(
2n
)2(
1n
)2(
nn
)2(
3n
)2(
n3
n2
)2(
32
22
)2(
31
21
)2(
n3
n2
)2(
33
23
n11211n11312
eeeaa00
eeea
a
0
1
0
0
1
LL
LLLLLLLLL
L
L
L
L
LL
,
где
)2(
ij
a =
)1(
ij
a -
)1(
2i
a α
2j
, (i, j3),
)2(
ij
e =
)1(
ij
e -
)1(
2i
a β
2j
, (i3, j1).
Продолжая, таким образом, окончательно получим
βββ
β
β
β
β
β
β
α
α
α
βββααα
nn2n1n
n3
n2
32
22
31
21
n3
n2
23
n11211n11312
1000
1
0
1
0
0
1
LL
LLLLLLLLL
L
L
L
L
LL
,
где
α
kj
=
)1k(
kj
a
/
)1k(
kk
a
, (jk+1), β
kj
=
)1k(
kj
e
/
)1k(
kk
a
, (j1),
)k(
ij
a =
)1k(
ij
a
-
)1k(
ik
a
α
kj
, (i, jk+1),
)k(
ij
e =
)1k(
ij
e
-
)1k(
ik
a
β
kj
, (ik+1, j1).
На этом заканчивается процесс исключенияпрямой ход. Дальше реализуется обратный
ход, для этого решается система уравнений
α
αα
ααα
1000
000
10
1
n1n
n223
n11312
L
L
LLLLL
L
L
ni
i1n
i2
i1
y
y
y
y
M
=
β
β
β
β
ni
i1n
i2
i1
M
, (i=1, 2,…,n),
что позволяет найти все столбцы обратной матрицы А
-1
у
1
=
1n
21
11
у
у
у
M
,…, y
n
=
nn
n2
n1
y
y
y
M
.
2.5. Метод Халецкого
При решении системы уравнений Ax=b методом Халецкого [2-4, 10,11] используется
«теорема о LU разложении» (см. §1.3) согласно которой можно написать