Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 17 стр.

                                                a 1j
                 t 11 =      a 11 , t 1 j =            , ( j > 1)
                                                t 11
                                    i −1
                t =
                 ii
                            a ii −   ∑t     2
                                            ki
                                                 , (1 < i ≤ n )
                                    k =1
                                     i −1
                                                                              (2.27)
                
                
                            a ij −   ∑t
                                     k =1
                                               t
                                            ki kj
                 t ij =                       , (i < j)
                                   t ii
                             t ij = 0, (i > j).
                
     Система линейных алгебраических уравнений (2.25) имеет единственное решение, если
tii≠0 (i=1,…,n), так как detA=(detT)2=(t11.t22. … .tnn)2≠0.
     Используя, формулу (2.26) систему уравнений (2.25) можно переписать в виде двух сис-
тем уравнений
                      ТТy=b,                                       (2.28)
                      Тх=у.                                        (2.29)
Расписывая, систему уравнений (2.28) получим
                            t 11 y 1 = b 1 ,
                     t 12 y 1 + t 22 y 2 = b 2 ,
                
                                                                             (2.30)
                     ...............................
                t y + t y + ... + t y = b .
                 1n 1 2 n 2                  nn n    n



Расписывая, систему уравнений (2.29) получим
                t 11 x 1 + t 12 x 2 + ... + t 1n x n = y 1 ,
                 t x + ... + t x = y ,
                
                
                        22 2                 2n n            2
                                                                              (2.31)
                        .......... .......... .......... ....
                                t nn x n = y n .
                
Из формулы (2.30) находим
                                      b
                              y1 = 1             ,
                                            t 11
                              i −1
                                                                             (2.32)
                      ( b i
                             −   ∑  t ki y k )
                y i =         k =1
                                                t ii
                                                             , (i > 1).
                
Из формул (2.31) определяем неизвестные
                         x n = y n t nn ,
                
                x = ( y −
                              n
                                                                              (2.33)
                 i
                
                        i         ∑
                           k = i +1
                                   t ik x k / t ii , (i < n ).

Формулы (2.27), (2.32) и (2.33) составляют алгоритм метода квадратных корней.

                                                        2.7. Метод прогонки

   Метод прогонки [9, 11] предназначен для решения системы линейных уравнений
                          Ax=b,                                  (2.34)
когда матрица А – трехдиагональная и ненулевые элементы определяются следующим обра-
зом: aij≠0, если j=i-1, j=i, j=i+1.
   Введем обозначения
   aii-1=-ai , aii=ci , aii+1=-di .
Тогда система уравнений (2.34) запишется в виде