Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 13 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Затем объединяем в систему все главные строки, начиная с последней, входящей в мат-
рицу М
(n-1)
. После некоторой перестановки строк они образуют треугольную матрицу экви-
валентную матрице (2.10). На этом заканчиваетсяпрямой ход.
Решив систему с треугольной матрицей, последовательно находим все неизвестныеоб-
ратный ход.
Замечание 2.1. При работе с матрицами большого порядка выбор главного элемента мо-
жет оказаться достаточно трудоемкой задачей. Поэтому на практике, в качестве главно-
го элемента, выбирают первую строку, а.в качестве главного элемента наибольший по мо-
дулю элемент этой строки.
2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы
Определение 2.2.
Если все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то
есть
а
11
0,
2221
1211
аа
аа
0, …, detA0, (2.11)
то проведение процесса исключения без перестановок гарантируется.
Определение 2.3. Если для матрицы А условия (2.11) выполнены, то определитель этой
матрицы равен произведению ведущих элементов в методе последовательного исключения
Гаусса.
Пусть выполнены условия (2.11), тогда
detA=a
11
nn2n1n
n22221
n112
aaa
aaa
1
L
LLLL
L
L
αα
, (2.12)
где
α
1j
=a
1j
/a
11
, (j>1).
Дальше поступаем, как в методе Гаусса. Первую строку определителя (2.12) умножаем на
а
21
и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.12) умножаем на а
31
и вычитаем из третьей строки и т.д. (такие преобразования не изменяют величины определи-
теля). Тогда получим
detA=a
11
)1(
nn
)1(
2n
)1(
n2
)1(
22
n112
aa0
aa0
1
L
LLLL
L
L
αα
=а
11
)1(
nn
)1(
2n
)1(
n2
)1(
22
aa
aa
L
LLL
L
.
Дальше повторим, тогда будем иметь
detA=a
11
)1(
22
a
)1(
nn
)1(
3n
)1(
2n
)1(
n3
)1(
33
)1(
32
n223
aaa
aaa
1
L
LLLL
L
L
αα
, (2.13)
где
α
2j
=
)1(
j2
a
/
)1(
22
a
, (j>2).
Дальше, первую строку определителя (2.13) умножаем на
)1(
32
a
и вычитаем из второй строки.
Затем первую строку определителя (2.13) умножаем на
)1(
42
a
и вычитаем из третьей строки и
т.д. Тогда получим