Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Затем объединяем в систему все главные строки, начиная с последней, входящей в мат-
рицу М
(n-1)
. После некоторой перестановки строк они образуют треугольную матрицу экви-
валентную матрице (2.10). На этом заканчивается – прямой ход.
Решив систему с треугольной матрицей, последовательно находим все неизвестные – об-
ратный ход.
Замечание 2.1. При работе с матрицами большого порядка выбор главного элемента мо-
жет оказаться достаточно трудоемкой задачей. Поэтому на практике, в качестве главно-
го элемента, выбирают первую строку, а.в качестве главного элемента наибольший по мо-
дулю элемент этой строки.
2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы
Определение 2.2.
Если все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то
есть
а
11
≠0,
2221
1211
аа
аа
≠0, …, detA≠0, (2.11)
то проведение процесса исключения без перестановок гарантируется.
Определение 2.3. Если для матрицы А условия (2.11) выполнены, то определитель этой
матрицы равен произведению ведущих элементов в методе последовательного исключения
Гаусса.
Пусть выполнены условия (2.11), тогда
detA=a
11
nn2n1n
n22221
n112
aaa
aaa
1
L
LLLL
L
L
αα
, (2.12)
где
α
1j
=a
1j
/a
11
, (j>1).
Дальше поступаем, как в методе Гаусса. Первую строку определителя (2.12) умножаем на
а
21
и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.12) умножаем на а
31
и вычитаем из третьей строки и т.д. (такие преобразования не изменяют величины определи-
теля). Тогда получим
detA=a
11
)1(
nn
)1(
2n
)1(
n2
)1(
22
n112
aa0
aa0
1
L
LLLL
L
L
αα
=а
11
)1(
nn
)1(
2n
)1(
n2
)1(
22
aa
aa
L
LLL
L
.
Дальше повторим, тогда будем иметь
detA=a
11
)1(
22
a
)1(
nn
)1(
3n
)1(
2n
)1(
n3
)1(
33
)1(
32
n223
aaa
aaa
1
L
LLLL
L
L
αα
, (2.13)
где
α
2j
=
)1(
j2
a
/
)1(
22
a
, (j>2).
Дальше, первую строку определителя (2.13) умножаем на
)1(
32
a
и вычитаем из второй строки.
Затем первую строку определителя (2.13) умножаем на
)1(
42
a
и вычитаем из третьей строки и
т.д. Тогда получим 
   Затем объединяем в систему все главные строки, начиная с последней, входящей в мат-
рицу М(n-1). После некоторой перестановки строк они образуют треугольную матрицу экви-
валентную матрице (2.10). На этом заканчивается – прямой ход.
   Решив систему с треугольной матрицей, последовательно находим все неизвестные – об-
ратный ход.

Замечание 2.1. При работе с матрицами большого порядка выбор главного элемента мо-
жет оказаться достаточно трудоемкой задачей. Поэтому на практике, в качестве главно-
го элемента, выбирают первую строку, а.в качестве главного элемента наибольший по мо-
дулю элемент этой строки.

                          2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы

Определение 2.2. Если все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то
есть
                                  а 11    а 12
                       а11≠0,                  ≠0, …, detA≠0,                                                               (2.11)
                                  а 21    а 22
то проведение процесса исключения без перестановок гарантируется.

Определение 2.3. Если для матрицы А условия (2.11) выполнены, то определитель этой
матрицы равен произведению ведущих элементов в методе последовательного исключения
Гаусса.

    Пусть выполнены условия (2.11), тогда
                                              1       α 12          L α 1n
                                            a 21      a 22          L a 2n
                           detA=a11                                                 ,                                       (2.12)
                                            L          L            L L
                                            a n1      a n2          L a nn
где α1j=a1j/a11, (j>1).
    Дальше поступаем, как в методе Гаусса. Первую строку определителя (2.12) умножаем на
а21 и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.12) умножаем на а31
и вычитаем из третьей строки и т.д. (такие преобразования не изменяют величины определи-
теля). Тогда получим
                                                             1       α 12        L α 1n
                                                                                               a (221)   L a (21n)
                                                             0       a (221)     L a (21n)
                                         detA=a11                                            =а11 L L L                 .
                                                             L L                 L L
                                                                                               a (n12)   L    a (nn1)
                                                             0 a (n12)           L a (nn1)
Дальше повторим, тогда будем иметь
                                                     1           α 23 L α 2 n
                                                    (1)            (1)
                                                  a 32           a 33          L a 3(1n)
                           detA=a        11 a
                                              (1)                                        ,                                  (2.13)
                                              22 L               L             L L
                                                   a (n12)       a (n13)       L a (nn1)
где α2j= a (1) / a (1) , (j>2).
             2j   22

Дальше, первую строку определителя (2.13) умножаем на a (1) и вычитаем из второй строки.
                                                        32

Затем первую строку определителя (2.13) умножаем на a (1) и вычитаем из третьей строки и
                                                      42
т.д. Тогда получим

Страницы