Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 12 стр.

                    a ij( k ) = a ij( k −1) - a iк( k −1) αкj , b i( к ) = b i( к −1) - a iк( k −1) βк , (i, j≥к+1).   (2.8)
Собирая уравнения (2.3)-(2.6), полученных на всех этапах получим систему уравнений с
верхней треугольной матрицей
 х1+α12х2+α13х3+…+α1nхn=β1 ,
       х2+α23х3+…+α2nхn=β2 ,                      (2.9)
        ………………………
                      хn=βn .
    Таким образом, алгоритм решения СЛАУ классическим методом Гаусса состоит из двух
шагов:
    1) первый – прямой ход.
По формулам (2.7), (2.8) вычисляются коэффициенты αij и βi (i, j=1,…, n).
    2) второй – обратный ход.
Определяются неизвестные xi по формуле (2.9), которую можно записать в виде
         n
xi=βi - ∑ α ij x j , (i=n, n-1,…,1).
       j= i +1



Определение 2.1. Элементы а11, a (221) , …, a (kkk −1) ,… называются ведущими элементами.

                           2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента

   При численных вычислениях на компьютере неизбежны ошибки округления, следова-
тельно, есть возможность прекращения выполнения алгоритма или получение неверных ре-
зультатов, если знаменатели дробей на каком-то этапе окажутся равными нулю или очень
маленькими числами. Этого недостатка можно избежать, если использовать метод Гаусса с
выбором главного элемента [11]. Рассмотрим систему уравнений
                                             a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = а 1n +1 ,
                                             
                                             a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = a 2n +1 ,
                                             
                                             ...............................................
                                             a x + a x + ... + a x = a                             .
                                              n1 1          n2 2                nn n         nn +1

Запишем расширенную матрицу коэффициентов
                       a 11          a 12    L a 1j          L a 1n           a 1n +1 
                                                                                       
                       a 21         a 22     L a 2 j L a 2n                   a 2 n +1 
                      L              L       L L             L L                L 
                    M=                                                                 .                             (2.10)
                       a i1          a i2    L a ij          L a in           a in +1 
                                                                                       
                      L              L       L L             L L                L 
                      a             a n2     L a nj          L a nn           a nn +1 
                       n1                                                              
Среди элементов матрицы aij выберем наибольший по модулю, который называется глав-
ным элементом. Пусть им будет элемент aij и используя его вычислим множители
    mk= -akj/ aij для всех k≠i .
Строка с номером i матрицы М, содержащая главный элемент, называется главной строкой.
    Далее, производим следующее действие: к каждой неглавной строке прибавляем главную
строку, умноженную на соответствующий множитель mk для этой строки. В результате по-
лучим новую матрицу, у которой j-й столбец состоит из нулей, кроме одного элемента. От-
брасывая этот столбец и главную i-ю строку, получим новую матрицу М(1) и повторяем ту
же операцию, только с новым главным элементом, после чего получим матрицу М(2) и т.д.
    Таким образом, построим последовательность матриц М, М(1), М(2),…, М(n-1), последняя
из которых представляет двучленную матрицу – строку, её также считаем главной строкой.