Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 12 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

)k(
ij
a =
)1k(
ij
a
-
)1k(
iк
a
α
кj
,
)к(
i
b =
)1к(
i
b
-
)1k(
iк
a
β
к
, (i, jк+1). (2.8)
Собирая уравнения (2.3)-(2.6), полученных на всех этапах получим систему уравнений с
верхней треугольной матрицей
х
1
+α
12
х
2
+α
13
х
3
+…+α
1n
х
n
=β
1
,
х
2
+α
23
х
3
+…+α
2n
х
n
=β
2
, (2.9)
………………………
х
n
=β
n
.
Таким образом, алгоритм решения СЛАУ классическим методом Гаусса состоит из двух
шагов:
1)
первыйпрямой ход.
По формулам (2.7), (2.8) вычисляются коэффициенты
α
ij
и β
i
(i, j=1,…, n).
2)
второйобратный ход.
Определяются неизвестные x
i
по формуле (2.9), которую можно записать в виде
x
i
=β
i
-
+=
α
n
1ij
jij
x
, (i=n, n-1,…,1).
Определение 2.1. Элементы а
11
,
)1(
22
a , …,
)1k(
kk
a
,… называются ведущими элементами.
2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента
При численных вычислениях на компьютере неизбежны ошибки округления, следова-
тельно, есть возможность прекращения выполнения алгоритма или получение неверных ре-
зультатов, если знаменатели дробей на каком-то этапе окажутся равными нулю или очень
маленькими числами. Этого недостатка можно избежать, если использовать метод Гаусса с
выбором главного элемента [11]. Рассмотрим систему уравнений
=+++
=+++
=+++
+
+
+
.axa...xaxa
...............................................
,axa...xaxa
,аxa...xaxa
1nnnnn2n21n1
12nn2n222121
11nn1n212111
Запишем расширенную матрицу коэффициентов
=
+
+
+
+
1nnnnnj2n1n
1ininij2i1i
1n2n2j22221
1n1n1j11211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
M
LL
LLLLLLL
LL
LLLLLLL
LL
LL
. (2.10)
Среди элементов матрицы a
ij
выберем наибольший по модулю, который называется глав-
ным элементом. Пусть им будет элемент a
ij
и используя его вычислим множители
m
k
= -a
kj
/ a
ij
для всех ki .
Строка с номером i матрицы М, содержащая главный элемент, называется главной строкой.
Далее, производим следующее действие: к каждой неглавной строке прибавляем главную
строку, умноженную на соответствующий множитель m
k
для этой строки. В результате по-
лучим новую матрицу, у которой j-й столбец состоит из нулей, кроме одного элемента. От-
брасывая этот столбец и главную i-ю строку, получим новую матрицу М
(1)
и повторяем ту
же операцию, только с новым главным элементом, после чего получим матрицу М
(2)
и т.д.
Таким образом, построим последовательность матриц М, М
(1)
, М
(2)
,…, М
(n-1)
, последняя
из которых представляет двучленную матрицустроку, её также считаем главной строкой.