Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 10 стр.

                                x 11    x 21   L x n1   λ 1 0   L 0 
                                                                       
                               x        x 22   L x n2   0 λ 2   L 0 
                             =  12                                         =ТΛ.
                                 L      L       L L  L L         L L
                                                                       
                               x       x 2n    L x nn   0 0   L λ n 
                                1n
   Т-1АТ=Λ. Теорема доказана.
   Отметим, что преобразование Т-1АТ называется преобразованием подобия.

Теорема 1.2 [9]. Пусть detA≠0, тогда матрица А разлагается в произведение
      A=QR,                                                       (1.23)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица.
                                             Доказательство
      Для доказательства необходимо найти такое преобразование, которое ортогонализирует
столбы матрицы А. Пусть ai – столбцы матрицы А. Так как detA≠0, то система векторов ai
являются линейно независимой и образует базис в пространстве Rn.
      Тогда отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса.
Ортогональный базис будем строить с помощью алгоритма Грама-Шмита.
      Пусть Q=(q1, q2,…, qn) – искомая матрица с ортогональными столбцами qi.
Положим a1=q1. Далее вектор а2 разложим по ортогональным векторам q1, q2:
                               a2=r12q1+q2 , (q1, q2)=0, r12=( q1, a2)/ (q1, q1).
Затем вектор а3 разложим по ортогональным векторам q1, q2, q3:
          a3=r13q1+ r23q2+q3, (q1, q3)=0, (q2, q3)=0, r13=(q1, a3)/(q1, q1), r23=(q2, a3)/(q2, q2) и т.д.
Окончательно, получим
                       ai=r1iq1+ r2iq2+…+ri-1,iqi-1+qi .                           (1.24)
Коэффициенты разложения (1.24) определяются из условий ортогональности (qi, qj)=0 при
i≠ j :
                                            rij=(qi, aj)/(qi, qi), i