Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

=
nnn2n1
2n2212
1n2111
xxx
xxx
xxx
L
LLLL
L
L
λ
λ
λ
n
2
1
00
00
00
L
LLLL
L
L
=ТΛ.
Т
-1
АТ=Λ. Теорема доказана.
Отметим, что преобразование Т
-1
АТ называется преобразованием подобия.
Теорема 1.2 [9]. Пусть detA≠0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QR, (1.23)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица.
Доказательство
Для доказательства необходимо найти такое преобразование, которое ортогонализирует
столбы матрицы А. Пусть a
i
– столбцы матрицы А. Так как detA≠0, то система векторов a
i
являются линейно независимой и образует базис в пространстве R
n
.
Тогда отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса.
Ортогональный базис будем строить с помощью алгоритма Грама-Шмита.
Пусть Q=(q
1
, q
2
,…, q
n
) – искомая матрица с ортогональными столбцами q
i
.
Положим a
1
=q
1
. Далее вектор а
2
разложим по ортогональным векторам q
1
, q
2
:
a
2
=r
12
q
1
+q
2
, (q
1
, q
2
)=0, r
12
=( q
1
, a
2
)/ (q
1
, q
1
).
Затем вектор а
3
разложим по ортогональным векторам q
1
, q
2
, q
3
:
a
3
=r
13
q
1
+ r
23
q
2
+q
3
, (q
1
, q
3
)=0, (q
2
, q
3
)=0, r
13
=(q
1
, a
3
)/(q
1
, q
1
), r
23
=(q
2
, a
3
)/(q
2
, q
2
) и т.д.
Окончательно, получим
a
i
=r
1i
q
1
+ r
2i
q
2
+…+r
i-1,i
q
i-1
+q
i
. (1.24)
Коэффициенты разложения (1.24) определяются из условий ортогональности (q
i
, q
j
)=0 при
i
≠j :
r
ij
=(q
i
, a
j
)/(q
i
, q
i
), i<j.
Матричная запись (1.24) будет
A=Q
100
r10
rr1
n2
n112
L
LLLL
L
L
=QR.
Теорема доказана.
Для нахождения векторов q
i
из (1.24) получим
q
i
=a
i
-r
1i
q
1
-r
2i
q
2
-…-r
i-1,I
q
i-1
.
Теорема 1.3 [9]. Пусть detA≠0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QL,
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица.
Доказательство
Теорема доказывается аналогично теореме 1.2. 
                                x 11    x 21   L x n1   λ 1 0   L 0 
                                                                       
                               x        x 22   L x n2   0 λ 2   L 0 
                             =  12                                         =ТΛ.
                                 L      L       L L  L L         L L
                                                                       
                               x       x 2n    L x nn   0 0   L λ n 
                                1n
   Т-1АТ=Λ. Теорема доказана.
   Отметим, что преобразование Т-1АТ называется преобразованием подобия.

Теорема 1.2 [9]. Пусть detA≠0, тогда матрица А разлагается в произведение
      A=QR,                                                       (1.23)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица.
                                             Доказательство
      Для доказательства необходимо найти такое преобразование, которое ортогонализирует
столбы матрицы А. Пусть ai – столбцы матрицы А. Так как detA≠0, то система векторов ai
являются линейно независимой и образует базис в пространстве Rn.
      Тогда отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса.
Ортогональный базис будем строить с помощью алгоритма Грама-Шмита.
      Пусть Q=(q1, q2,…, qn) – искомая матрица с ортогональными столбцами qi.
Положим a1=q1. Далее вектор а2 разложим по ортогональным векторам q1, q2:
                               a2=r12q1+q2 , (q1, q2)=0, r12=( q1, a2)/ (q1, q1).
Затем вектор а3 разложим по ортогональным векторам q1, q2, q3:
          a3=r13q1+ r23q2+q3, (q1, q3)=0, (q2, q3)=0, r13=(q1, a3)/(q1, q1), r23=(q2, a3)/(q2, q2) и т.д.
Окончательно, получим
                       ai=r1iq1+ r2iq2+…+ri-1,iqi-1+qi .                           (1.24)
Коэффициенты разложения (1.24) определяются из условий ортогональности (qi, qj)=0 при
i≠ j :
                                            rij=(qi, aj)/(qi, qi), i

Страницы