Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Для оценки числа обусловленности этой матрицы воспользуемся формулой (1.14). Как из-
вестно собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения
det
A-λE=0,
λ
2
+4λ+0,0003-0.
Далее получим
λ
1
=-0,0001, λ
2
=-3,9999, откуда ν(А)≥λ
2
/λ
1
=39999≈4
.
10
4
. Отсюда следует,
что матрица А плохо обусловленная.
Пример 1.2. Рассмотрим уравнение Ах=b, где матрица А задана выражением (1.15),
=
0000,1
9998,0
b
. Тогда точное решение
=
2
5
x
.
Допустим, вектор b задан с погрешностью, т.е. имеем
=
1
1
b
, тогда получим решение
=
0000,0
3333,0
x
1
. Оценим относительную погрешность решения при δb≠0. Из примера 1.1 из-
вестно
ν(А) ≈4
.
10
4
. Тогда несмотря на малость ║δb║/║b║≈1,4143
.
10
-4
относительная по-
грешность решения велика, т.е. ║
δх║/║x║≈0,9618≤ν(А)║δb║/║b║≈5,6772.
1.3. Основные теоремы
В этом параграфе приводятся основные теоремы, которые имеют широкое применение в
численных методах решения СЛАУ.
Теорема Адамара [1]. Если для матрицы А порядка n выполняется n неравенств
a
kk
-
∑
≠=
n
kj1,j
kj
a
>0, (
n;1,k =
), (1.16)
то матрица А является невырожденной.
Доказательство
Пусть матрица А- вырождена, т.е. detA=0. Тогда существуют такие числа х
1
, х
2
, …, х
n
c
максимальным
x
k
>0, что выполняется
∑
=
=
n
1j
jkj
0xa
( n;1,k = ).
Также выполняется
a
kk
x
k
≤
∑
≠=
n
kj1,j
kj
a
x
j
≤x
k
∑
≠=
n
kj1,j
kj
a
( n;1,k = ).
Далее сокращая на
x
k
, получим
a
kk
≤
∑
≠=
n
kj1,j
kj
a
(
n;1,k =
)
или
a
kk
-
∑
≠=
n
kj1,j
kj
a
≤0, ( n;1,k = ). Следовательно, при выполнении неравенств (1.16) detA≠0,
т.е. А – невырождена. Теорема доказана.
Теорема о LU разложении [9]. Пусть все главные миноры матрицы А n-го порядка отлич-
ны от нуля, то есть
а
11
≠0,
2221
1211
аа
аа
≠0, …, detA≠0, (1.17)
тогда матрица А представима в виде 
Для оценки числа обусловленности этой матрицы воспользуемся формулой (1.14). Как из-
вестно собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения
detA-λE=0,
λ2+4λ+0,0003-0.
Далее получим λ1=-0,0001, λ2=-3,9999, откуда ν(А)≥λ2/λ1=39999≈4.104. Отсюда следует,
что матрица А плохо обусловленная.

Пример 1.2.                  Рассмотрим уравнение                           Ах=b, где матрица А задана выражением (1.15),
      0,9998                                5
b =          . Тогда точное решение x =   .
      1,0000                                2
                                                                                                             1
   Допустим, вектор b задан с погрешностью, т.е. имеем b =   , тогда получим решение
                                                             1
        0,3333 
x 1 =          . Оценим относительную погрешность решения при δb≠0. Из примера 1.1 из-
        0,0000 
вестно ν(А) ≈4.104. Тогда несмотря на малость ║δb║/║b║≈1,4143.10-4 относительная по-
грешность решения велика, т.е. ║δх║/║x║≈0,9618≤ν(А)║δb║/║b║≈5,6772.

                                                            1.3. Основные теоремы

   В этом параграфе приводятся основные теоремы, которые имеют широкое применение в
численных методах решения СЛАУ.

Теорема Адамара [1]. Если для матрицы А порядка n выполняется n неравенств
                                          n
                              akk-    ∑
                                       j=1, j≠ k
                                                   a kj >0, ( k = 1, n; ),                                          (1.16)

то матрица А является невырожденной.

                                    Доказательство
   Пусть матрица А- вырождена, т.е. detA=0. Тогда существуют такие числа х1, х2, …, хn c
максимальным xk>0, что выполняется
     n

    ∑a
    j=1
          kj
               xj =0         ( k = 1, n; ).

Также выполняется
                                                          n                                n
                                 akkxk≤             ∑
                                                       j=1, j≠ k
                                                                   a kj xj≤xk        ∑
                                                                                        j=1, j≠ k
                                                                                                    a kj   ( k = 1, n; ).

Далее сокращая на xk, получим
                                                                        n
                                                       akk≤         ∑
                                                                     j=1, j≠ k
                                                                                 a kj     ( k = 1, n; )

                    n
или akk-        ∑
                 j=1, j≠ k
                             a kj ≤0, ( k = 1, n; ). Следовательно, при выполнении неравенств (1.16) detA≠0,

т.е. А – невырождена. Теорема доказана.

Теорема о LU разложении [9]. Пусть все главные миноры матрицы А n-го порядка отлич-
ны от нуля, то есть
                                              а 11     а 12
                                 а11≠0,                       ≠0, …, detA≠0,                                         (1.17)
                                              а 21     а 22
тогда матрица А представима в виде

Страницы