Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Для оценки числа обусловленности этой матрицы воспользуемся формулой (1.14). Как из-
вестно собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения
det
A-λE=0,
λ
2
+4λ+0,0003-0.
Далее получим
λ
1
=-0,0001, λ
2
=-3,9999, откуда ν(А)≥λ
2
/λ
1
=399994
.
10
4
. Отсюда следует,
что матрица А плохо обусловленная.
Пример 1.2. Рассмотрим уравнение Ах=b, где матрица А задана выражением (1.15),
=
0000,1
9998,0
b
. Тогда точное решение
=
2
5
x
.
Допустим, вектор b задан с погрешностью, т.е. имеем
=
1
1
b
, тогда получим решение
=
0000,0
3333,0
x
1
. Оценим относительную погрешность решения при δb0. Из примера 1.1 из-
вестно
ν(А) 4
.
10
4
. Тогда несмотря на малость δb/b1,4143
.
10
-4
относительная по-
грешность решения велика, т.е.
δх║/x0,9618≤ν(А)δb/b5,6772.
1.3. Основные теоремы
В этом параграфе приводятся основные теоремы, которые имеют широкое применение в
численных методах решения СЛАУ.
Теорема Адамара [1]. Если для матрицы А порядка n выполняется n неравенств
a
kk
-
=
n
kj1,j
kj
a
>0, (
n;1,k =
), (1.16)
то матрица А является невырожденной.
Доказательство
Пусть матрица А- вырождена, т.е. detA=0. Тогда существуют такие числа х
1
, х
2
, …, х
n
c
максимальным
x
k
>0, что выполняется
=
=
n
1j
jkj
0xa
( n;1,k = ).
Также выполняется
a
kk
x
k
≤
=
n
kj1,j
kj
a
x
j
≤x
k
=
n
kj1,j
kj
a
( n;1,k = ).
Далее сокращая на
x
k
, получим
a
kk
≤
=
n
kj1,j
kj
a
(
n;1,k =
)
или
a
kk
-
=
n
kj1,j
kj
a
0, ( n;1,k = ). Следовательно, при выполнении неравенств (1.16) detA0,
т.е. Аневырождена. Теорема доказана.
Теорема о LU разложении [9]. Пусть все главные миноры матрицы А n-го порядка отлич-
ны от нуля, то есть
а
11
0,
2221
1211
аа
аа
0, …, detA0, (1.17)
тогда матрица А представима в виде