Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 7 стр.

               ║δх║/║x║≤║А║║А-1║║δb║/║b║.                           (1.7)

    Теперь пусть δb=0, δА≠0. Дополнительно предположим, что δА таково, что
det(A+δА)≠0. Тогда из формулы (1.3) получим
                    х+δх=(A+δА)-1b.                               (1.8)
                                 -1
После вычитания из (1.8) х= А b получим
                   δх=[(A+δА)-1-A-1]b.                            (1.9)
Введем обозначение
B=(A+δА)
и используя тождество
B-1- A-1= A-1(A-B)B-1
находим, что
B-1- A-1= -A-1δА(А+δА)-1
или
                   (A+δА)-1- A-1= -A-1δА(А+δА)-1.                (1.10)
    После подстановки (1.10) в (1.9) получим
δх= -A-1δА(А+δА)-1b,
откуда
                  b= -δх/[ A-1δА(А+δА)-1] .                      (1.11)
После подстановки (1.11) в (1.8) получим
δх= -A-1δА(х+δх)
или
                  ║δх║≤║А-1║║δА║║х+δх║,                          (1.12)
                                           -1
                  ║δх║/║x+δх ║≤║А║║А ║║δА║/║А║.                  (1.13)
    Из (1.5) и (1.12) следует, что если ║δb║→0 или ║δА║→0, то ║δх║→0. Это и означает
непрерывную зависимость решения задачи (1.2) от входных данных. Следовательно, условия
detA≠0, det(A+δА)≠0 обеспечивают корректную постановку задачи (1.2).
    Входящее в оценки (1.7) и (1.13) число ν(А)=║А║║А-1║ называется числом обуслов-
ленности матрицы А.

Определение 1.3. Если число ν(А) относительно мало, то матрица А является хорошо обу-
словленной. Если число ν(А) относительно велико, то матрица А является плохо обуслов-
ленной.

Для плохо обусловленной СЛАУ недопустима, велика правая часть в неравенствах (1.7) и
(1.13). Поэтому лишь очень малые погрешности входных данных задачи (1.2) гарантируют
приемлемую относительную погрешность решения.

Определение 1.4. Число ν(А) для произвольной квадратной матрицы А удовлетворяет ус-
ловию
                 ν(А)≥ maxλA/minλA≥1,                      (1.14)
где λA – собственное число матрицы А.

Определение 1.5. Число ν(А) для симметричной матрицы А удовлетворяет условию
ν(А)= maxλA/minλA.

Пример 1.1. Дана матрица
                            3.0000 − 7.0001 
                      A =                   .          (1.15)
                            3.0000 − 7.0000 