Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 5 стр.

                    Глава 1. Погрешности приближенных вычислений
                                   и основные теоремы

   На практике очень редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно результаты
измерений всегда являются приближенными, прежде всего вследствие ограниченной точно-
сти измерительных приборов. Действительно, каждый измерительный прибор имеет шкалу,
на которой промежутки деления не могут быть как угодно малыми. Следовательно, на прак-
тике имеем дело с приближенными числами, содержащими ошибки любого происхождения.
   Поэтому в главе кратко рассматривается круг вопросов, связанных с погрешности при-
ближенных вычислений и даются основные теоремы, используемые при разработке числен-
ных методов решения задач линейной алгебры.

                       1.1. Погрешности приближенных вычислений

    Погрешности численного решения различных задач обусловлены следующими основны-
ми причинами:
1) неточностью математической модели, в частности неточно заданы исходные данные опи-
    сания;
2) приближенным характером методов решения;
3) операции округления в вычислительной технике.
      Погрешности, вызванные этими причинами, называют, соответственно:
А) неустранимой погрешностью,
Б) погрешностью метода,
В) вычислительной погрешностью.
    Введем следующие обозначения:
х – точное значение параметра;
~
x - значение параметра, соответствующее принятой модели;
~
x h – значение численного решения, полученное по принятой модели, в предположении от-
сутствия ошибок округлений;
xh – приближенное решение задачи, получаемое при реальных вычислениях.
Тогда
         ~
δ1= х - x – неустранимая погрешность;
     ~   ~
δ2= x - x h – погрешность численного решения;
     ~
δ3= x h - xh– погрешность вычисления.
Таким образом, полная погрешность равняется
δо=δ1+δ2+δ3=х- xh.

Определение 1.1. Если х точное значение, а xh – приближенное значение некоторого пара-
метра, то абсолютная погрешность ∆ определяется формулой
∆= х- xh.

Определение 1.2. Относительная погрешность δ этого же параметра вычисляется по фор-
муле
δ= х- xh/xh.

             1.2. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений

   Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в канонической форме записыва-
ется следующим образом