Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 6 стр.

                a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 ,
                
                a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ,
                                                                                           (1.1)
                ...............................................
                a x + a x + ... + a x = b .
                 n1 1          n2 2                nn n         n

Из теории линейной алгебры следует, что система уравнений (1.1) имеет решение (совмест-
на) при любых правых частях в том и только в том случае, если соответствующая однород-
ная система имеет только тривиальное решение х1=х2=…хn=0. Необходимым и достаточным
условием этого является условие, когда матрица А
                                                       a 11    a 12   ... a 1n 
                                                                                
                                                      a        a 22   ... a 2n 
                                                  A =  21
                                                         ...     ...   ... ... 
                                                                                
                                                      a        a n2   ... a nn 
                                                       n1
имеет определитель, отличный от нуля, т.е. detA≠0. Условие совместности системы (1.1) при
любых правых частях detA≠0 обеспечивает и единственность решения. С использованием
матрицы А систему (1.1) можно переписать в виде
                                          a 11     a 12   ... a 1n  x 1   b 1 
                                                                       
                                          a 21     a 22   ... a 2n  x 2   b 2 
                                          ...                                 =
                                                     ...   ... ...  M   M 
                                                                       
                                         a         a n2   ... a nn  x n   b n 
                                          n1
или в матричной форме
                    Ax=b.                                            (1.2)
    Пусть требуется найти решение системы (1.2). Задача решения системы (1.2) поставлена,
корректна, если
1) решение задачи существует;
2) решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от входных данных.
    Известно, что требования 1 и 2 будут выполнены, если detA≠0. Требование 3 нуждается в
детализации. Входными данными в задаче (1.2) являются коэффициеты aij матрицы А и
компоненты вектора b .
    Если входные данные А и b заданы с некоторой погрешностью δА, δb, то вместо сис-
темы (1.2) решается задача
                    (А+δА)(х+δх)=b+δb.                              (1.3)
    Тогда возникает вопрос о том, как связана погрешность решения δх с погрешностями
входных данных δА или δb.
    Пусть вначале δА=0, а δb≠0. Тогда из формулы (1.3) получим
                    Ах+Аδх=b+δb.                                    (1.4)
После вычитания из (1.4) выражения (1.2) получим
Аδх=δb,
δх=А-1δb,
следовательно
                    ║δх║≤║А-1║║δb║.                                  (1.5)
    Таким образом, связь между ║δх║ и ║δb║ установлена. Однако на практике более есте-
ственна связь между нормами относительных погрешностей, а не абсолютных.
    Так как
                    ║b║≤║А║║х║,                                      (1.6)
то из (1.5) и (1.6) получим
                               ║δх║║b║≤║А║║А-1║║х║║δb║
или