Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 9 стр.

                    A=LU,                                         (1.18)
где L – нижняя треугольная матрица, U – верхняя треугольная матрица.

                                        Доказательство
    Доказательство проведем по методу математической индукции. Для n=1 утверждение
(1.18) выполняется так как a11=l11u11 .
    Тогда пусть теорема верна для матрицы An-1 порядка (n-1), т.е.
                    An-1=Ln-1Un-1 .                                  (1.19)
Покажем, что (1.19) влечет за собой (1.18). Для этого представим матрицу А в следующем
виде
                   a    L a 1n 
                    11          A                        Z 
                А=  L L L  =  n −1                           ,                               (1.20)
                                V                     a nn 
                      a
                     n1 L a nn 

где
                        a                       a 
                        11 L a 1n −1            1n 
                 Аn-1=  L L
                       
                                      L  , Z=  M  , V= a n1 L a n , n −1 .
                                                         
                                                                                   (                  )
                       a       L a n −1, n −1  a        
                        n −1,1                  n −1, n 
Дальше А будем искать в виде (1.18). Тогда имеем
                     L n −1     0       U n −1      Y   A n −1      Z 
                A=                                       =              .                  (1.21)
                     X        l nn     0
                                                     u nn   V      a nn 
Из (1.21) получаем
                 Ln-1Un-1=An-1 , Ln-1Y=Z , XUn-1=V , XY+lnnunn=ann . (1.22)
Первое из уравнений (1.22) выполняется из предположения (1.19). Так как detAn-1≠0 по усло-
вию (1.17), то матрицы Ln-1 и Un-1 обратимы. Следовательно, из второго и третьего уравне-
ний из (1.22) однозначно определяются вектор-столбец Y и вектор-строка Х.
   Таким образом, остается определить только диагональные элементы lnn и unn из четвер-
того уравнения. Это всегда можно сделать, приписав одному из чисел lnn , unn произвольное
и отличное от нуля значение, тогда второе число определится однозначно. Теорема доказана.
   Отметим, что эта теорема является типичной теоремой существования, где доказано, что
матрица А представима в виде (1.18), но не указан алгоритм построения треугольных мат-
риц L , U.

Теорема 1.1 [7, 9]. Если матрица А имеет только простые собственные значения, то суще-
ствуют преобразования подобия, приводящие её к диагональной форме.

                                  Доказательство
   Расположим n – линейно независимые собственные вектора матрицы А в столбцах мат-
рицы Т
                                                        x 11   x 21   L x n1 
                                                                              
                                                       x       x 22   L x n2 
                                                    Т=  12                      .
                                                         L      L      L L
                                                                              
                                                       x       x 2n   L x nn 
                                                        1n
      Тогда
                           x 11            x 21     L x n1   λ 1 x 11       λ 2 x 21   L λ n x n1 
                                                                                                   
                          x                x 22     L x n 2   λ 1 x 12     λ 2 x 22    L λ n x n2 
                     АТ=А  12                                =                                         =
                            L               L        L L  L                   L         L   L 
                                                                                                   
                          x                x 2n     L x nn   λ 1 x 1n    λ 2 x 2n    L λ n x nn 
                           1n