Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2. Прямые методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
Итак, требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
Ax=b. (2.1)
Заметим, что везде речь будет идти только о случае когда матрица А – квадратная, т.е. число
уравнений совпадает с числом неизвестных, причем будет предполагаться, что система (2.1)
имеет единственное решение.
Методы решения (2.1) можно разделить на две группы: прямые методы (в которых нахо-
ждение решения заканчивается за конечное число действий), итерационные методы (в кото-
рых находятся не само решение, а некоторая последовательность векторов х
(к)
такая, что
0xxlim
)k(
k
=−
∞→
).
2.1. Метод Гаусса
Рассмотрим классический метод Гаусса [2-11]. Сначала перепишем систему (2.1) в раз-
вернутой форме
=+++
=+++
=+++
.bxa...xaxa
...............................................
,bxa...xaxa
,bxa...xaxa
nnnn2n21n1
2n2n222121
1n1n212111
(2.2)
Пусть а
11
≠0. Если а
11
=0, то поменяем местами первое и второе уравнения в (2.2), если а
21
≠0,
то поменяем местами первое и третье уравнения и т.д. Все a
i1
не могут равняться нулю, так
как detA
≠0. Тогда из первого уравнения системы (2.2) будем иметь
х
1
+α
12
х
2
+…+α
1n
х
n
=β
1
, (2.3)
где
α
1j
=a
1j
/a
11
, (j>1), β
1
=b
1
/a
11
.
С использованием уравнения (2.3) можно исключить х
1
из всех оставшихся уравнений (2.2).
В результате получим
=+++
=+++
=+++
.bxa...xaxa
...............................................
,bxa...xaxa
,bxa...xaxa
(1)
nn
(1)
nn3
(1)
n32
(1)
n2
(1)
3n
(1)
3n3
(1)
332
(1)
32
(1)
2n
(1)
2n3
(1)
232
(1)
22
(2.4)
где
)1(
ij
a =a
ij
-a
i1
α
1j
,
)1(
i
b =b
i
- a
i1
β
1
, (i, j≥2).
На этом первый этап процесса исключения заканчивается. Индекс (1) в коэффициентах
)1(
ij
a ,
)1(
i
b показывает номер первого этапа.
Переходя к второму этапу процесса исключения разделим первое уравнение в (2.4) на
)1(
22
a при
)1(
22
a ≠0, тогда получим
х
2
+α
23
х
3
+…+α
2n
х
n
=β
2
, (2.5)
где
α
2j
=
)1(
j2
a /
)1(
22
a , (j>2), β
2
=
)1(
2
b /
)1(
22
a .
Далее с помощью уравнения (2.5), описанным выше способом, исключим все х
2
из уравне-
ний (2.4).
Продолжая далее, на к-ом этапе будем иметь уравнение, с помощью которого исключим
к-ое неизвестное, т.е.
х
к
+α
к к+1
х
к+1
+…+α
кn
х
n
=β
k
, (2.6)
где α
кj
=
)1k(
kj
a
−
/
)1k(
kk
a
−
, (j≥к+1), β
к
=
)1k(
k
b
−
/
)1k(
kk
a
−
, (2.7) 
                               Глава 2. Прямые методы решения систем линейных
                                           алгебраических уравнений

   Итак, требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
                    Ax=b.                                            (2.1)
Заметим, что везде речь будет идти только о случае когда матрица А – квадратная, т.е. число
уравнений совпадает с числом неизвестных, причем будет предполагаться, что система (2.1)
имеет единственное решение.
    Методы решения (2.1) можно разделить на две группы: прямые методы (в которых нахо-
 ждение решения заканчивается за конечное число действий), итерационные методы (в кото-
  рых находятся не само решение, а некоторая последовательность векторов х(к) такая, что
                                      lim x ( k ) − x = 0 ).
                                                                  k →∞


                                                               2.1. Метод Гаусса

   Рассмотрим классический метод Гаусса [2-11]. Сначала перепишем систему (2.1) в раз-
вернутой форме
                             a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 ,
                             
                             a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ,
                                                                                  (2.2)
                             ...............................................
                             a x + a x + ... + a x = b .
                              n1 1          n2 2                nn n         n

Пусть а11≠0. Если а11=0, то поменяем местами первое и второе уравнения в (2.2), если а21≠0,
то поменяем местами первое и третье уравнения и т.д. Все ai1 не могут равняться нулю, так
как detA≠0. Тогда из первого уравнения системы (2.2) будем иметь
                    х1+α12х2+…+α1nхn=β1 ,                           (2.3)
где α1j=a1j/a11 , (j>1), β1=b1/a11 .
С использованием уравнения (2.3) можно исключить х1 из всех оставшихся уравнений (2.2).
В результате получим
                         a (1) x + a (1) x + ... + a (1) x = b (1) ,
                          22 2             23 3                 2n n        2

                         a x + a x + ... + a x = b ,
                              (1)           (1)                  (1)         (1)

                           32 2            33 3                 3n n        3     (2.4)
                           .............................. .................
                           (1)             (1)                  (1)         (1)
                          a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn x n = b n .
где a ij(1) =aij-ai1α1j , b i(1) =bi- ai1β1 , (i, j≥2).
          На этом первый этап процесса исключения заканчивается. Индекс (1) в коэффициентах
a ij(1)   , b i(1) показывает номер первого этапа.
          Переходя к второму этапу процесса исключения разделим первое уравнение в (2.4) на
a (221)    при a (221) ≠0, тогда получим
                            х2+α23х3+…+α2nхn=β2 ,                                  (2.5)
где α2j= a (21j) / a (221) , (j>2), β2= b (21) / a (221) .
Далее с помощью уравнения (2.5), описанным выше способом, исключим все х2 из уравне-
ний (2.4).
   Продолжая далее, на к-ом этапе будем иметь уравнение, с помощью которого исключим
к-ое неизвестное, т.е.
                хк+αк к+1хк+1+…+αкnхn=βk ,                                               (2.6)
                где αкj= a (kjk −1) / a (kkk −1) , (j≥к+1), βк= b (kk −1) / a (kkk −1) , (2.7)

Страницы