Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 11 стр.

                               Глава 2. Прямые методы решения систем линейных
                                           алгебраических уравнений

   Итак, требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
                    Ax=b.                                            (2.1)
Заметим, что везде речь будет идти только о случае когда матрица А – квадратная, т.е. число
уравнений совпадает с числом неизвестных, причем будет предполагаться, что система (2.1)
имеет единственное решение.
    Методы решения (2.1) можно разделить на две группы: прямые методы (в которых нахо-
 ждение решения заканчивается за конечное число действий), итерационные методы (в кото-
  рых находятся не само решение, а некоторая последовательность векторов х(к) такая, что
                                      lim x ( k ) − x = 0 ).
                                                                  k →∞


                                                               2.1. Метод Гаусса

   Рассмотрим классический метод Гаусса [2-11]. Сначала перепишем систему (2.1) в раз-
вернутой форме
                             a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 ,
                             
                             a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ,
                                                                                  (2.2)
                             ...............................................
                             a x + a x + ... + a x = b .
                              n1 1          n2 2                nn n         n

Пусть а11≠0. Если а11=0, то поменяем местами первое и второе уравнения в (2.2), если а21≠0,
то поменяем местами первое и третье уравнения и т.д. Все ai1 не могут равняться нулю, так
как detA≠0. Тогда из первого уравнения системы (2.2) будем иметь
                    х1+α12х2+…+α1nхn=β1 ,                           (2.3)
где α1j=a1j/a11 , (j>1), β1=b1/a11 .
С использованием уравнения (2.3) можно исключить х1 из всех оставшихся уравнений (2.2).
В результате получим
                         a (1) x + a (1) x + ... + a (1) x = b (1) ,
                          22 2             23 3                 2n n        2

                         a x + a x + ... + a x = b ,
                              (1)           (1)                  (1)         (1)

                           32 2            33 3                 3n n        3     (2.4)
                           .............................. .................
                           (1)             (1)                  (1)         (1)
                          a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn x n = b n .
где a ij(1) =aij-ai1α1j , b i(1) =bi- ai1β1 , (i, j≥2).
          На этом первый этап процесса исключения заканчивается. Индекс (1) в коэффициентах
a ij(1)   , b i(1) показывает номер первого этапа.
          Переходя к второму этапу процесса исключения разделим первое уравнение в (2.4) на
a (221)    при a (221) ≠0, тогда получим
                            х2+α23х3+…+α2nхn=β2 ,                                  (2.5)
где α2j= a (21j) / a (221) , (j>2), β2= b (21) / a (221) .
Далее с помощью уравнения (2.5), описанным выше способом, исключим все х2 из уравне-
ний (2.4).
   Продолжая далее, на к-ом этапе будем иметь уравнение, с помощью которого исключим
к-ое неизвестное, т.е.
                хк+αк к+1хк+1+…+αкnхn=βk ,                                               (2.6)
                где αкj= a (kjk −1) / a (kkk −1) , (j≥к+1), βк= b (kk −1) / a (kkk −1) , (2.7)