Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 20 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

бой относительную малость векторов погрешности z
(k)
. Для таких задач условие (3.5) явля-
ется корректным.
Для плохо обусловленной системы (3.1) относительная малость векторов невязок R
(k)
не
влечет относительную малость векторов погрешности z
(k)
. Для таких задач условие (3.5) яв-
ляется не вполне корректным.
3.1. Метод простой итерации
Для описания метода простой итерации [2-4, 6, 11] распишем систему (3.1)
=+++
=+++
=+++
.bxa...xaxa
...............................................
,bxa...xaxa
,bxa...xaxa
nnnn2n21n1
2n2n222121
1n1n212111
(3.7)
Полагая, что коэффициенты a
ii
0 (i=1, 2,…, n) разрешим первое уравнение из (3.7) от-
носительно х
1
, второе относительно х
2
и т.д. Тогда получим
α++α+α+β=
α++α+α+β=
α++α+α+β=
,xxxx
,xxxx
,xxxx
n1nn22n11nnn
nn232312122
nn131321211
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
(3.8)
где
β
i
=b
i
/a
ii
, α
ij
=-a
ij
/a
ii
при ij, α
ij
=0 при i=j,
(i,j=1, 2,…,n).
Вводя обозначения
ααα
ααα
ααα
=α
nn2n1n
n22221
n11211
L
LLLL
L
L
,
β
β
β
=β
n
2
1
M
,
=
n
2
1
x
x
x
x
M
перепишем систему уравнений (3.8) в матричной форме
х=
β+αх . (3.9)
Систему уравнений (3.9) будем решать методом последовательных приближений. За ну-
левое приближение примем столбец свободных членов
х
(0)
=β ,
где индекс (0) – номер нулевого приближения.
Дальше строим последовательность
х
(1)
= β+αх
(0)
,
х
(2)
= β+αх
(1)
,
………….. (3.10)
х
(k+1)
= β+αх
(k)
.
Если последовательность приближений х
(0)
, х
(0)
,…, х
(k)
,… имеет предел
xxlim
)k(
k
=
, то
этот предел будет решением системы уравнений (3.8).
Таким образом, алгоритм метода простой итерации для решения СЛАУ будет следую-
щим