Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 20 стр.

бой относительную малость векторов погрешности z(k). Для таких задач условие (3.5) явля-
ется корректным.
   Для плохо обусловленной системы (3.1) относительная малость векторов невязок R(k) не
влечет относительную малость векторов погрешности z(k). Для таких задач условие (3.5) яв-
ляется не вполне корректным.

                                            3.1. Метод простой итерации

   Для описания метода простой итерации [2-4, 6, 11] распишем систему (3.1)
                       a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 ,
                       
                       a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ,
                                                                                              (3.7)
                       ...............................................
                       a x + a x + ... + a x = b .
                        n1 1          n2 2                nn n         n

   Полагая, что коэффициенты aii≠0 (i=1, 2,…, n) разрешим первое уравнение из (3.7) от-
носительно х1 , второе относительно х2 и т.д. Тогда получим
                        x 1 = β1 + α 12 x 2 + α 13 x 3 + L + α 1n x n ,
                        x = β + α x + α x +L+ α x ,
                        2       2    21 1
                        LLLLLLLLLLLLLL
                                                 23 3           2n n
                                                                                               (3.8)
                       
                       x = β + α x + α x + L + α                   x ,
                        n     n     n1 1       n2 2           nn −1 n

где βi=bi/aii , αij=-aij/aii при i≠j, αij=0 при i=j,
(i,j=1, 2,…,n).
Вводя обозначения

                                     α 11        α 12     L α 1n         β1    x1 
                                                                               
                                    α            α 22     L α 2n        β2    x 
                                α =  21                            , β = , x = 2 
                                      L          L         L L               M       M
                                                                               
                                    α           α n2      L α nn       β     x 
                                     n1                                   n     n
перепишем систему уравнений (3.8) в матричной форме
                     х=β+αх .                                    (3.9)
    Систему уравнений (3.9) будем решать методом последовательных приближений. За ну-
левое приближение примем столбец свободных членов
    х(0)=β ,
где индекс (0) – номер нулевого приближения.
    Дальше строим последовательность

   х(1)= β+αх(0) ,
   х(2)= β+αх(1) ,
   …………..                                                                   (3.10)
   х(k+1)= β+αх(k) .

Если последовательность приближений х(0) , х(0) ,…, х(k) ,…                          имеет предел lim x ( k ) = x , то
                                                                                                       k →∞

этот предел будет решением системы уравнений (3.8).
   Таким образом, алгоритм метода простой итерации для решения СЛАУ будет следую-
щим