Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 23 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

)1k()k()k(
xx
1
xx
α
α
, (3.18)
что и требовалось доказать.
Оценка (3.18) называется апостериорной оценкой погрешности, так как её получают по
известной
α и вычисленным приближениям х
(к-1)
и х
(к)
.
3.2. Метод Зейделя
Метод Зейделя [3,4,9,11]представляет собой некоторую модификацию метода простой
итерации. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближе-
ния неизвестной x
i
учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-ые приближения неизвест-
ных x
1,
x
2
, …, x
n
.
Пусть имеется приведенная линейная система
x
i
=β
i
+
=
α
n
1j
jij
x
, (i=1, 2, …, n).
Выберем произвольно начальные приближения
)0(
n
)0(
2
)0(
1
x,...,x,x
.
Далее, предполагая, что к-ые приближения неизвестных
)k(
i
x вычислены, построим формулы
для (к+1)-го приближения:
=
+
α+β=
n
1j
)k(
jj11
)1k(
1
xx
,
=
++
α+α+β=
n
2j
)k(
jj2
)1k(
1212
)1k(
2
xxx
,
………………………………….
=
=
++
α+α+β=
n
ij
)k(
jij
1i
1j
)1k(
jiji
)1k(
i
xxx
,
………………………………….
)k(
nnn
1n
1j
)1k(
jnjn
)1k(
n
xxx α+α+β=
=
++
, (k=0, 1, 2,…).
Таким образом, алгоритм метода Зейделя для решения СЛАУ будет следующим
),n,1i(,x
i
)0(
i
=β=
=
=
++
α+α+β=
n
ij
)k(
jij
1i
1j
)1k(
jiji
)1k(
i
xxx
,
α
ii
=0, k=0, 1, 2, …
Итерация заканчивается по выполнению условия
ε<
+ )k(
i
)1k(
i
xx для всех n,1i = ;
где 0<
ε<1.
Отметим, что теорема 3.1 и следствия 3.1 и 3.2 верны и для метода Зейделя.
Формулы для оценки погрешности метода Зейделя следующие [3]:
а) по m – норме
),n,1i(,xxmax
1
xx
)0(
j
)1(
j
j
k
)k(
ii
=
µ
µ
где