Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

)1k()k()k(
xx
1
xx
−
−
α−
α
≤−
, (3.18)
что и требовалось доказать.
Оценка (3.18) называется апостериорной оценкой погрешности, так как её получают по
известной
α и вычисленным приближениям х
(к-1)
и х
(к)
.
3.2. Метод Зейделя
Метод Зейделя [3,4,9,11]представляет собой некоторую модификацию метода простой
итерации. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближе-
ния неизвестной x
i
учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-ые приближения неизвест-
ных x
1,
x
2
, …, x
n
.
Пусть имеется приведенная линейная система
x
i
=β
i
+
∑
=
α
n
1j
jij
x
, (i=1, 2, …, n).
Выберем произвольно начальные приближения
)0(
n
)0(
2
)0(
1
x,...,x,x
.
Далее, предполагая, что к-ые приближения неизвестных
)k(
i
x вычислены, построим формулы
для (к+1)-го приближения:
∑
=
+
α+β=
n
1j
)k(
jj11
)1k(
1
xx
,
∑
=
++
α+α+β=
n
2j
)k(
jj2
)1k(
1212
)1k(
2
xxx
,
………………………………….
∑∑
=
−
=
++
α+α+β=
n
ij
)k(
jij
1i
1j
)1k(
jiji
)1k(
i
xxx
,
………………………………….
)k(
nnn
1n
1j
)1k(
jnjn
)1k(
n
xxx α+α+β=
∑
−
=
++
, (k=0, 1, 2,…).
Таким образом, алгоритм метода Зейделя для решения СЛАУ будет следующим
),n,1i(,x
i
)0(
i
=β=
∑∑
=
−
=
++
α+α+β=
n
ij
)k(
jij
1i
1j
)1k(
jiji
)1k(
i
xxx
,
α
ii
=0, k=0, 1, 2, …
Итерация заканчивается по выполнению условия
ε<−
+ )k(
i
)1k(
i
xx для всех n,1i = ;
где 0<
ε<1.
Отметим, что теорема 3.1 и следствия 3.1 и 3.2 верны и для метода Зейделя.
Формулы для оценки погрешности метода Зейделя следующие [3]:
а) по m – норме
),n,1i(,xxmax
1
xx
)0(
j
)1(
j
j
k
)k(
ii
=−
µ−
µ
≤−
где 
                                                                             α
                                          x (k ) − x ≤                                   x ( k ) − x ( k −1) ,                                   (3.18)
                                                                    1− α
что и требовалось доказать.
   Оценка (3.18) называется апостериорной оценкой погрешности, так как её получают по
известной α и вычисленным приближениям х(к-1) и х(к).

                                                                                            3.2. Метод Зейделя

   Метод Зейделя [3,4,9,11]представляет собой некоторую модификацию метода простой
итерации. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближе-
ния неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-ые приближения неизвест-
ных x1, x2, …, xn.
   Пусть имеется приведенная линейная система
                                                                                                n
                                                                               xi=βi+ ∑ α ij x j , (i=1, 2, …, n).
                                                                                               j=1

Выберем произвольно начальные приближения
                                                                                                 x 1( 0) , x (20 ) ,..., x (n0) .
Далее, предполагая, что к-ые приближения неизвестных x i( k ) вычислены, построим формулы
для (к+1)-го приближения:
                            n
      x 1( k +1) = β1 +    ∑α
                           j=1
                                    1j
                                         x (jk ) ,

                                                      n
      x (2k +1) = β 2 + α 21 x 1( k +1) +        ∑α  j= 2
                                                                   2j
                                                                        x (jk ) ,

      ………………………………….
                           i −1                             n
      x i( k +1) = β i +   ∑
                           j=1
                                  α ij x (jk +1) +        ∑αj= i
                                                                        ij
                                                                             x (jk ) ,

      ………………………………….
                           n −1
      x (nk +1) = β n +    ∑α
                            j=1
                                     nj
                                          x (jk +1) + α nn x (nk ) , (k=0, 1, 2,…).

      Таким образом, алгоритм метода Зейделя для решения СЛАУ будет следующим
      x i( 0) = β i , (i = 1, n ),
                           i −1                             n
      x i( k +1) = β i +   ∑
                           j=1
                                  α ij x (jk +1) +        ∑αj= i
                                                                        ij
                                                                             x (jk ) ,

   αii=0, k=0, 1, 2, …
Итерация заканчивается по выполнению условия
                              x i( k +1) − x i( k ) < ε для всех                                                                    i = 1, n ;
где 0<ε<1.
    Отметим, что теорема 3.1 и следствия 3.1 и 3.2 верны и для метода Зейделя.
    Формулы для оценки погрешности метода Зейделя следующие [3]:
а) по m – норме
                                                                                                 µk
                                                                        x i − x i( k ) ≤            max x (j1) − x (j0) , (i = 1, n ),
                                                                                                1− µ j
где

Страницы