Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 25 стр.

                                                                            0, (i = k ),
                                                       R i(1) =  ( 0)           ( 0)                   ,
                                                                 R i + b ik δx k , (i ≠ k; i = 1, n )
далее, чтобы на m – ой итерации обратить в нуль невязку                                                           R (km ) дадим переменной x (km −1)
приращение
                                     δ x (km −1) = R (km −1) .
Тогда получим систему уравнений
                                                                            0, (i = k ),
                                                  R i( m ) =  ( m −1)                                        .
                                                              R i    + b ik δx (km −1) , (i ≠ k; i = 1, n )
   Процесс итерации заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы
будут равны нулю с требуемой точностью.
   В методе рекомендуется на каждой итерации обращать в нуль максимальную по модулю
невязку путем изменения значения, соответствующей компоненты приближения.
   Алгоритм метода релаксации будет таким.
Задается начальное приближение
                                    х(0)=( x 1( 0) , x (20) ,..., x (n0) ).
Вычисляются невязки начального приближения
                                                                                n
                                                  R i( 0 ) = c i − x i( 0 ) +   ∑b
                                                                                j=1
                                                                                      ij
                                                                                           x (j0 ) , ( j ≠ i; i = 1, n ) .

Находим величину ак= max                     R i( 0)   , которой соответствует невязка R (k0) и приращение
                                         i

                                                                         δ x (k0) = R (k0) .
Дальше вычисляются невязки первого приближения
                                                                             0, (i = k ),
                                                        R i(1) =  ( 0)           ( 0)
                                                                  R i + b ik δx k , (i ≠ k; i = 1, n )
и т.д.
Затем находим величину ак= max R i( m −1) , которой соответствует невязка R (km −1) и приращение
                                                  i

   δ   x (km −1)   =   R (km −1)   , что позволяет вычислить невязку m-го приближения
                                                                            0, (i = k ),
                                                  R i( m ) =  ( m −1)
                                                              R i    + b ik δx (km −1) , (i ≠ k; i = 1, n )
и т.д. m=m+1, m+2,…, M. M→∞.
Итерация заканчивается при выполнении условия
                                                           R i( m ) < ε, (i = 1, n ),          где 0<ε<1.
Неизвестные вычисляются по формуле
                                                                          M
                                                                  xi= ∑ δx i( m ) , i = 1, n.
                                                                        m =0


Замечание. Описанный здесь метод называется полной релаксацией. Если в процессе полной
релаксации для системы уравнений (3.19) с положительно-определенной матрицей выполне-
но условие: Последовательность индексов i компонент xi (i=1, 2,…, n) имеет интервал по-
вторяемости L , т.е. на каждом отрезке длины L индекс i принимает хотя бы по одному
разу все числа 1, 2,…, n , то процесс сходится к решению системы (3.19), где L – любое на-
туральное число.