Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

)1(
i
R =
=≠δ+
=
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)0(
kik
)0(
i
,
далее, чтобы на m – ой итерации обратить в нуль невязку
)m(
k
R дадим переменной
)1m(
k
x
−
приращение
δ
)1m(
k
x
−
=
)1m(
k
R
−
.
Тогда получим систему уравнений
)m(
i
R =
=≠δ+
=
−−
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)1m(
kik
)1m(
i
.
Процесс итерации заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы
будут равны нулю с требуемой точностью.
В методе рекомендуется на каждой итерации обращать в нуль максимальную по модулю
невязку путем изменения значения, соответствующей компоненты приближения.
Алгоритм
метода релаксации будет таким.
Задается начальное приближение
х
(0)
=(
)0(
n
)0(
2
)0(
1
x,...,x,x ).
Вычисляются невязки начального приближения
∑
=
=≠+−=
n
1j
)0(
jij
)0(
ii
)0(
i
)n,1i;ij(,xbxcR
.
Находим величину а
к
=
)0(
i
i
Rmax , которой соответствует невязка
)0(
k
R
и приращение
δ
)0(
k
x =
)0(
k
R .
Дальше вычисляются невязки первого приближения
)1(
i
R
=
=≠δ+
=
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)0(
kik
)0(
i
и т.д.
Затем находим величину а
к
=
)1m(
i
i
Rmax
−
, которой соответствует невязка
)1m(
k
R
−
и приращение
δ
)1m(
k
x
−
=
)1m(
k
R
−
, что позволяет вычислить невязку m-го приближения
)m(
i
R
=
=≠δ+
=
−−
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)1m(
kik
)1m(
i
и т.д. m=m+1, m+2,…, M. M
→∞.
Итерация заканчивается при выполнении условия
),n,1i(,R
)m(
i
=ε< где 0<ε<1.
Неизвестные вычисляются по формуле
x
i
=
∑
=
=δ
M
0m
)m(
i
.n,1i,x
Замечание. Описанный здесь метод называется полной релаксацией. Если в процессе полной
релаксации для системы уравнений (3.19) с положительно-определенной матрицей выполне-
но условие: Последовательность индексов i компонент x
i
(i=1, 2,…, n) имеет интервал по-
вторяемости L , т.е. на каждом отрезке длины L индекс i
принимает хотя бы по одному
разу все числа 1, 2,…, n
, то процесс сходится к решению системы (3.19), где L – любое на-
туральное число.
                                                                            0, (i = k ),
                                                       R i(1) =  ( 0)           ( 0)                   ,
                                                                 R i + b ik δx k , (i ≠ k; i = 1, n )
далее, чтобы на m – ой итерации обратить в нуль невязку                                                           R (km ) дадим переменной x (km −1)
приращение
                                     δ x (km −1) = R (km −1) .
Тогда получим систему уравнений
                                                                            0, (i = k ),
                                                  R i( m ) =  ( m −1)                                        .
                                                              R i    + b ik δx (km −1) , (i ≠ k; i = 1, n )
   Процесс итерации заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы
будут равны нулю с требуемой точностью.
   В методе рекомендуется на каждой итерации обращать в нуль максимальную по модулю
невязку путем изменения значения, соответствующей компоненты приближения.
   Алгоритм метода релаксации будет таким.
Задается начальное приближение
                                    х(0)=( x 1( 0) , x (20) ,..., x (n0) ).
Вычисляются невязки начального приближения
                                                                                n
                                                  R i( 0 ) = c i − x i( 0 ) +   ∑b
                                                                                j=1
                                                                                      ij
                                                                                           x (j0 ) , ( j ≠ i; i = 1, n ) .

Находим величину ак= max                     R i( 0)   , которой соответствует невязка R (k0) и приращение
                                         i

                                                                         δ x (k0) = R (k0) .
Дальше вычисляются невязки первого приближения
                                                                             0, (i = k ),
                                                        R i(1) =  ( 0)           ( 0)
                                                                  R i + b ik δx k , (i ≠ k; i = 1, n )
и т.д.
Затем находим величину ак= max R i( m −1) , которой соответствует невязка R (km −1) и приращение
                                                  i

   δ   x (km −1)   =   R (km −1)   , что позволяет вычислить невязку m-го приближения
                                                                            0, (i = k ),
                                                  R i( m ) =  ( m −1)
                                                              R i    + b ik δx (km −1) , (i ≠ k; i = 1, n )
и т.д. m=m+1, m+2,…, M. M→∞.
Итерация заканчивается при выполнении условия
                                                           R i( m ) < ε, (i = 1, n ),          где 0<ε<1.
Неизвестные вычисляются по формуле
                                                                          M
                                                                  xi= ∑ δx i( m ) , i = 1, n.
                                                                        m =0


Замечание. Описанный здесь метод называется полной релаксацией. Если в процессе полной
релаксации для системы уравнений (3.19) с положительно-определенной матрицей выполне-
но условие: Последовательность индексов i компонент xi (i=1, 2,…, n) имеет интервал по-
вторяемости L , т.е. на каждом отрезке длины L индекс i принимает хотя бы по одному
разу все числа 1, 2,…, n , то процесс сходится к решению системы (3.19), где L – любое на-
туральное число.

Страницы