Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 25 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

)1(
i
R =
=δ+
=
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)0(
kik
)0(
i
,
далее, чтобы на m – ой итерации обратить в нуль невязку
)m(
k
R дадим переменной
)1m(
k
x
приращение
δ
)1m(
k
x
=
)1m(
k
R
.
Тогда получим систему уравнений
)m(
i
R =
=δ+
=
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)1m(
kik
)1m(
i
.
Процесс итерации заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы
будут равны нулю с требуемой точностью.
В методе рекомендуется на каждой итерации обращать в нуль максимальную по модулю
невязку путем изменения значения, соответствующей компоненты приближения.
Алгоритм
метода релаксации будет таким.
Задается начальное приближение
х
(0)
=(
)0(
n
)0(
2
)0(
1
x,...,x,x ).
Вычисляются невязки начального приближения
=
=+=
n
1j
)0(
jij
)0(
ii
)0(
i
)n,1i;ij(,xbxcR
.
Находим величину а
к
=
)0(
i
i
Rmax , которой соответствует невязка
)0(
k
R
и приращение
δ
)0(
k
x =
)0(
k
R .
Дальше вычисляются невязки первого приближения
)1(
i
R
=
=δ+
=
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)0(
kik
)0(
i
и т.д.
Затем находим величину а
к
=
)1m(
i
i
Rmax
, которой соответствует невязка
)1m(
k
R
и приращение
δ
)1m(
k
x
=
)1m(
k
R
, что позволяет вычислить невязку m-го приближения
)m(
i
R
=
=δ+
=
)n,1i;ki(,xbR
),ki(,0
)1m(
kik
)1m(
i
и т.д. m=m+1, m+2,…, M. M
→∞.
Итерация заканчивается при выполнении условия
),n,1i(,R
)m(
i
=ε< где 0<ε<1.
Неизвестные вычисляются по формуле
x
i
=
=
=δ
M
0m
)m(
i
.n,1i,x
Замечание. Описанный здесь метод называется полной релаксацией. Если в процессе полной
релаксации для системы уравнений (3.19) с положительно-определенной матрицей выполне-
но условие: Последовательность индексов i компонент x
i
(i=1, 2,…, n) имеет интервал по-
вторяемости L , т.е. на каждом отрезке длины L индекс i
принимает хотя бы по одному
разу все числа 1, 2,…, n
, то процесс сходится к решению системы (3.19), где L – любое на-
туральное число.