Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 30 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

3.5.2. Метод скорейшего спуска
В методе скорейшего спуска [8, 9], в явной схеме (3.41), итерационный параметр τ
k+1
вы-
бирается из условия минимума нормы
A
)1k(
z
+
вектора погрешности z
(k+1)
=x
(k+1)
-x. Так как
погрешность z
(k+1)
удовлетворяет уравнению
1k
)k()1k(
zz
+
+
τ
+ Az
(k)
=0, k=0, 1, 2,…
или
z
(k+1)
= z
(k)
-τ
k+1
Az
(k)
,
то имеем
=ττ==
++
+++
)Azz,zAAz()z,Az(z
)k(
1kkk
2
1k
)k()1k()1k(
2
A
)1k(
=τ+τ=
++
)Az,zA()Az,Az(2z
)k()k(22
1k
)k()k(
1k
2
A
)k(
Ψ(τ
k+1
).
Дальше находим производную от функции
Ψ(τ
k+1
) по параметру τ
k+1
и приравняем к нулю,
тогда
Ψ
(τ
k+1
)= -2(Az
(k)
, Az
(k)
)+2τ
k+1
(A
2
z
(k)
, Az
(k)
)=0
или
)Az,zA(
)Az,Az(
)k()k(2
)k()k(
1k
=τ
+
.
Так как вектор погрешности z
(k)
=x
(k)
-x неизвестен, поскольку неизвестно точное решение х.
Тогда с учетом того, что
Az
(k)
=Ax
(k)
-Ax=R
(k)
вычисление
τ
k+1
можно проводить по формуле
)R,AR(
)R,R(
)k()k(
)k()k(
1k
=τ
+
. (3.43)
Отметим, что метод скорейшего спуска (3.41), (3.43) сходится со скоростью метода про-
стой итерации с оптимальным параметром
τ.
Глава 4. Методы решения задач на
собственные значения
На практике часто возникают различные требования к информации о собственных значе-
ниях и собственных векторах матриц:
1.
При решении задач механики, физики и химии требуется нахождение всех собствен-
ных значений и векторов матриц. Такую задачу называют полной проблемой собст-
венных значений;
2.
Иногда требуется найти максимальное или минимальное по модулю собственное зна-
чение матрицы. Такого рода задачи возникают при решении некоторых задач ядерной
физики
3.
При исследовании колебательных процессов иногда требуется найти два максималь-
ных по модулю собственных значений матрицы. Подобные задачи называют частич-
ной проблемой собственных значений.
Таким образом, алгебраическая проблема собственных значений состоит в определении
тех собственных значений
λ, при которых система n однородных линейных уравнений с n
неизвестными
Ах=
λх, х0 (4.1)
имеет нетривиальное решение.