Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

3.5.2. Метод скорейшего спуска
В методе скорейшего спуска [8, 9], в явной схеме (3.41), итерационный параметр τ
k+1
вы-
бирается из условия минимума нормы
A
)1k(
z
+
вектора погрешности z
(k+1)
=x
(k+1)
-x. Так как
погрешность z
(k+1)
удовлетворяет уравнению
1k
)k()1k(
zz
+
+
τ
−
+ Az
(k)
=0, k=0, 1, 2,…
или
z
(k+1)
= z
(k)
-τ
k+1
Az
(k)
,
то имеем
=τ−τ−==
++
+++
)Azz,zAAz()z,Az(z
)k(
1kkk
2
1k
)k()1k()1k(
2
A
)1k(
=τ+τ−=
++
)Az,zA()Az,Az(2z
)k()k(22
1k
)k()k(
1k
2
A
)k(
Ψ(τ
k+1
).
Дальше находим производную от функции
Ψ(τ
k+1
) по параметру τ
k+1
и приравняем к нулю,
тогда
Ψ
’
(τ
k+1
)= -2(Az
(k)
, Az
(k)
)+2τ
k+1
(A
2
z
(k)
, Az
(k)
)=0
или
)Az,zA(
)Az,Az(
)k()k(2
)k()k(
1k
=τ
+
.
Так как вектор погрешности z
(k)
=x
(k)
-x неизвестен, поскольку неизвестно точное решение х.
Тогда с учетом того, что
Az
(k)
=Ax
(k)
-Ax=R
(k)
вычисление
τ
k+1
можно проводить по формуле
)R,AR(
)R,R(
)k()k(
)k()k(
1k
=τ
+
. (3.43)
Отметим, что метод скорейшего спуска (3.41), (3.43) сходится со скоростью метода про-
стой итерации с оптимальным параметром
τ.
Глава 4. Методы решения задач на
собственные значения
На практике часто возникают различные требования к информации о собственных значе-
ниях и собственных векторах матриц:
1.
При решении задач механики, физики и химии требуется нахождение всех собствен-
ных значений и векторов матриц. Такую задачу называют полной проблемой собст-
венных значений;
2.
Иногда требуется найти максимальное или минимальное по модулю собственное зна-
чение матрицы. Такого рода задачи возникают при решении некоторых задач ядерной
физики
3.
При исследовании колебательных процессов иногда требуется найти два максималь-
ных по модулю собственных значений матрицы. Подобные задачи называют частич-
ной проблемой собственных значений.
Таким образом, алгебраическая проблема собственных значений состоит в определении
тех собственных значений
λ, при которых система n однородных линейных уравнений с n
неизвестными
Ах=
λх, х≠0 (4.1)
имеет нетривиальное решение. 
                                                  3.5.2. Метод скорейшего спуска

   В методе скорейшего спуска [8, 9], в явной схеме (3.41), итерационный параметр τk+1 вы-
бирается из условия минимума нормы z ( k +1) вектора погрешности z(k+1)=x(k+1)-x. Так как
                                                                               A
                (k+1)
погрешность z           удовлетворяет уравнению
                                                  z ( k +1) − z ( k )
                                                                      + Az(k)=0,             k=0, 1, 2,…
                                                         τ k +1
или
                                                                z(k+1)= z(k)-τk+1Az(k) ,
то имеем
                                    2
                        z ( k +1)        = (Az ( k +1) , z ( k +1) ) = ( Az ( k ) − τ k +1 A 2 z k , z k − τ k +1 Az ( k ) ) =
                                    A
                                          2
                           = z (k )           − 2τ k +1 (Az ( k ) , Az ( k ) ) + τ 2k +1 (A 2 z ( k ) , Az ( k ) ) = Ψ(τk+1).
                                          A

Дальше находим производную от функции Ψ(τk+1) по параметру τk+1 и приравняем к нулю,
тогда
                       Ψ’(τk+1)= -2(Az(k), Az(k))+2τk+1(A2z(k), Az(k))=0
или
                                                                            (Az ( k ) , Az ( k ) )
                                                                τ k +1 =                               .
                                                                           (A 2 z ( k ) , Az ( k ) )
Так как вектор погрешности z(k)=x(k)-x неизвестен, поскольку неизвестно точное решение х.
Тогда с учетом того, что
                                      Az(k)=Ax(k)-Ax=R(k)
вычисление τk+1 можно проводить по формуле
                                         (R ( k ) , R ( k ) )
                         τ k +1 =                               .                                                     (3.43)
                                        (AR ( k ) , R ( k ) )
   Отметим, что метод скорейшего спуска (3.41), (3.43) сходится со скоростью метода про-
стой итерации с оптимальным параметром τ.

                                           Глава 4. Методы решения задач на
                                                     собственные значения

   На практике часто возникают различные требования к информации о собственных значе-
ниях и собственных векторах матриц:
   1. При решении задач механики, физики и химии требуется нахождение всех собствен-
       ных значений и векторов матриц. Такую задачу называют полной проблемой собст-
       венных значений;
   2. Иногда требуется найти максимальное или минимальное по модулю собственное зна-
       чение матрицы. Такого рода задачи возникают при решении некоторых задач ядерной
       физики
   3. При исследовании колебательных процессов иногда требуется найти два максималь-
       ных по модулю собственных значений матрицы. Подобные задачи называют частич-
       ной проблемой собственных значений.
   Таким образом, алгебраическая проблема собственных значений состоит в определении
тех собственных значений λ, при которых система n однородных линейных уравнений с n
неизвестными
                   Ах=λх, х≠0                                     (4.1)
имеет нетривиальное решение.

Страницы