Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 31 стр.

   Отметим, что если матрицу А с помощью преобразований подобия Т-1АТ (согласно тео-
рема 1.1) привести к диагональной матрице D, то полная проблема собственных значений
будет решена.
   Действительно, если D подобна А, то
                     D= Т-1АТ,   (detT≠0)                         (4.2)
                     DΨ=γΨ.                                       (4.3)
Умножим (4.2) справа на вектор Ψ
                                       DΨ= Т-1АТΨ,
теперь умножим слева на Т
                                        ТDΨ=АТΨ,
тогда с учетом (4.3)
                                       А(ТΨ)=γ(ТΨ).
Откуда видно, что собственное значение γ матрицы D совпадает с собственным значением
λ матрицы А, а собственный вектор Ψ матрицы D связан с собственным вектором х мат-
рицы А соотношением
                                          х=ТΨ.

Определение 4.1. Собственные значения диагональной матрицы D равны диагональным
элементам, т.е. γ1=d11, γ2=d22,…, γn=dnn.

Определение 4.2. Собственные значения треугольной (верхней или нижней) матрицы сов-
падают с диагональными элементами, т.е. λ1=d11, λ2=d22,…, λn=dnn.

Определение 4.3. Для вещественной симметричной матрицы А собственные значения ве-
щественны, а собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям
ортогональны.

Определение 4.4. Если матрицы А и В удовлетворяют тождеству
                  (Ах, у)=(х, Ву),                               (4.4)
то матрица В называется сопряженным матрице А и обозначается A*.

   В дальнейшем (4.4) будем записывать в виде
                   (Ах, у)=(х, A*у),                              (4.5)
которое называется тождеством Лагранжа.
   Наряду с задачей (4.1) также рассматривается задача
                   A*у=ηу, у≠0.                                   (4.6)
              *
Так как det(A -ηE)=det(A-λE) следует, что λ=η. Следовательно, вместо (4.6) можно напи-
сать
                                           A*у=λу.

                  4.1. Устойчивость задачи на собственные значения

    Для простоты будем считать, что все собственные значения матрицы А простые в задаче
(4.1).
    На практике элементы матрицы А, почти всегда, заданы с некоторой погрешностью δА,
тогда вместо (4.1) будем иметь
                                 (А+δА)(х+δх)=(λ+δλ)(х+δх),
тогда отбросив, члены второго порядка малости получим
                                  Ах+δАх+Аδх=λх+δλх+λδх
из последнего выражения вычтем (4.1), тогда имеем
                     δАх+Аδх=δλх+λδх.                               (4.7)