Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 31 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Отметим, что если матрицу А с помощью преобразований подобия Т
-1
АТ (согласно тео-
рема 1.1) привести к диагональной матрице D, то полная проблема собственных значений
будет решена.
Действительно, если D подобна А, то
D= Т
-1
АТ, (detT0) (4.2)
D
Ψ=γΨ. (4.3)
Умножим (4.2) справа на вектор
Ψ
D
Ψ= Т
-1
АТΨ,
теперь умножим слева на Т
ТD
Ψ=АТΨ,
тогда с учетом (4.3)
А(Т
Ψ)=γ(ТΨ).
Откуда видно, что собственное значение
γ матрицы D совпадает с собственным значением
λ матрицы А, а собственный вектор Ψ матрицы D связан с собственным вектором х мат-
рицы А соотношением
х=Т
Ψ.
Определение 4.1. Собственные значения диагональной матрицы D равны диагональным
элементам, т.е.
γ
1
=d
11
, γ
2
=d
22
,…, γ
n
=d
nn
.
Определение 4.2. Собственные значения треугольной (верхней или нижней) матрицы сов-
падают с диагональными элементами, т.е.
λ
1
=d
11
, λ
2
=d
22
,…, λ
n
=d
nn
.
Определение 4.3. Для вещественной симметричной матрицы А собственные значения ве-
щественны, а собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям
ортогональны.
Определение 4.4. Если матрицы А и В удовлетворяют тождеству
(Ах, у)=(х, Ву), (4.4)
то матрица В называется сопряженным матрице А и обозначается A
*
.
В дальнейшем (4.4) будем записывать в виде
(Ах, у)=(х, A
*
у), (4.5)
которое называется тождеством Лагранжа.
Наряду с задачей (4.1) также рассматривается задача
A
*
у=ηу, у0. (4.6)
Так как det(A
*
-ηE)=det(A-λE) следует, что λ=η. Следовательно, вместо (4.6) можно напи-
сать
A
*
у=λу.
4.1. Устойчивость задачи на собственные значения
Для простоты будем считать, что все собственные значения матрицы А простые в задаче
(4.1).
На практике элементы матрицы А, почти всегда, заданы с некоторой погрешностью
δА,
тогда вместо (4.1) будем иметь
(А+
δА)(х+δх)=(λ+δλ)(х+δх),
тогда отбросив, члены второго порядка малости получим
Ах+
δАх+Аδх=λх+δλх+λδх
из последнего выражения вычтем (4.1), тогда имеем
δАх+Аδх=δλх+λδх. (4.7)