Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 33 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Метод вращения Якоби
Метод Якоби [4, 5, 9, 11] применяется для решения полной проблемы собственных зна-
чений симметричных матриц. Пусть Аисходная симметричная матрица, имеющая про-
стые собственные значения. Тогда согласно теореме 1.1 имеем
Т
-1
АТ=Λ, (4.12)
где
Λ - диагональная матрица. В качестве матрицы Т используем ортогональную матрицу
вращения
i j
T
n
(i,j)=
1000000
000000
cs
000000
0001000
000000
)s(c
000000
0000001
MM
OMM
LLLLLLL
MOM
MM
MOM
LLLLLLL
MMO
MM
, (i<j).
Так как T
n
ортогональная матрица (4.12) запишется в виде
T
n
T АТ=
~
Λ , (4.13)
где
~
Λ - квазидиагональная матрица.
Дальше строится последовательность матриц А
n
при начальной А
0
=А:
А
1
=
T
1
T А
0
Т
1
,
…………. , n=1, 2, 3,… (4.14)
А
n
=
T
n
T А
n-1
Т
n
.
При n
→∞ limA
n
=Λ.
Идея построения последовательности (4.14) такова:
допустим, что ненулевой, недиагональный элемент матрицы А
n-1
находится в позиции (i, j),
тогда умножение её на Т
n
справа и
T
n
T
слева соответствует вращения матрицы А
n-1
в плос-
кости (i, j). Угол вращения
θ выбирается таким образом, чтобы сделать элемент (i, j) матри-
цы А
n
нулевым.
Алгоритм метода вращения, который получается из последней строки последовательно-
сти (4.14), будет таким:
j;i,k,sacaaa
j;i,k,sacaaa
j;i,lj;i,k,aa
1)(n
ki
1)(n
kj
(n)
jk
(n)
kj
1)(n
kj
1)(n
ki
(n)
ik
(n)
ki
1)(n
kl
(n)
kl
==
+==
=
0,)csa(a)as(caa
,ac2csaasa
,as2csaaca
1)(n
ii
1)(n
jj
1)(n
ij
22(n)
ji
(n)
ij
1)(n
jj
21)(n
ij
1)(n
ii
2(n)
jj
1)(n
jj
21)(n
ij
1)(n
ii
2(n)
ii
=+==
+=
++=
(4.15)
где c=cos
θ, s=sinθ, n=1, 2, 3,…
Из последнего выражения формул (4.15) получим
tg2
θ=
1)(n
jj
1)(n
ii
1)(n
ij
aa
2a
, θ≤π/4. (4.16)
Из исходных соотношений получим уравнение