Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

tgθ=s/c=t. (4.17)
Далее из (4.16), (4.17) получим
t
2
+
ij
jjii
a
aa −
t-1=0. (4.18)
Для сходимости и устойчивости метода необходимо выбрать наименьший по модулю корень
уравнения (4.18). Зная t можно вычислить с, s:
,
t1
1
с
2
+
=
s=tc.
Для якобиева вращения,
0a
)n(
ij
= , справедливо
t
2
(A
n
)= t
2
(A
n-1
)-2(
)n(
ij
a )
2
,
где
t
2
(A
n-1
)=
∑
≠
−
ji
2)1n(
ij
]a[
.
Сходимость метода Якоби можно оценить числом t
2
(A
n
), если процесс сходится, то
t
2
(A
n
)→0 при n→∞.
Процесс итерации заканчивается, когда все недиагональные элементы матрицы А удов-
летворяют условию
)n(
ij
a <ε, i≠j , 0<ε<1.
Наконец, о нахождении собственных векторов.
Пусть
ATTAlim
T
n
n
=Λ=
∞→
, где Т=
∏
n
n
T , тогда столбцы матрицы Т будут собственными
векторами матрицы А.
Заметим, так как метод Якоби носит итерационный характер, то элемент, который был
сделан нулевым при следующем вращении, вообще говоря, может стать ненулевым.
Вопрос, в каком порядке занулять элементы матрицы А, т.е. вопрос о выборе индексов i
и j для каждого шага, определяет различные варианты метода Якоби.
4.2.1. Различные варианты метода Якоби
Классический метод.
На каждой итерации классического метода Якоби зануляется мак-
симальный по модулю недиагональный элемент с номером:
(i
n
, j
n
)⇒
)n(
ij
ji
ji
amaxa
nn
≠
= , n=0, 1, 2,…
Барьерные методы. Используется простая циклическая последовательность аннулиро-
вания недиагональных элементов матрицы, т.е. элементы матрицы зануляются в следующем
порядке: (2, 1), (3, 1), (3, 2),…, (n, 1), (n, 2),…, (n, n-1), а затем начинается новый проход по
матрице в том же порядке. При этом вращения опускаются, если
)n(
ij
a меньше некоторого
барьерного значения τ, которое может быть фиксировано, а может меняться на каждой ите-
рации.
Фиксированный барьер меняется, если все диагональные элементы стали меньше его
следующим образом:
1.
В качестве барьера τ выбирается произвольное положительное число. Затем, когда
все недиагональные элементы становятся по модулю меньше его, барьер заменяется
на новый τ
’
=τ/const. 
                      tgθ=s/c=t.                               (4.17)
Далее из (4.16), (4.17) получим
                           a ii − a jj
                      t2 +             t-1=0.                  (4.18)
                               a ij
Для сходимости и устойчивости метода необходимо выбрать наименьший по модулю корень
уравнения (4.18). Зная t можно вычислить с, s:
                                                                    1
                                                            с=            , s=tc.
                                                                 1+ t 2
      Для якобиева вращения, a ij( n ) = 0 , справедливо
                                                     t2(An)= t2(An-1)-2( a ij( n ) )2 ,
где
                                                     t2(An-1)= ∑ [a ij( n −1) ] 2 .
                                                                  i≠ j

    Сходимость метода Якоби можно оценить числом t2(An), если процесс сходится, то
t2(An)→0 при n→∞.
    Процесс итерации заканчивается, когда все недиагональные элементы матрицы А удов-
летворяют условию
                                     a ij( n ) <ε, i≠j , 0<ε<1.
   Наконец, о нахождении собственных векторов.
Пусть lim A n = Λ = T T AT , где Т= ∏ Tn , тогда столбцы матрицы Т будут собственными
           n →∞
                                                     n
векторами матрицы А.
    Заметим, так как метод Якоби носит итерационный характер, то элемент, который был
сделан нулевым при следующем вращении, вообще говоря, может стать ненулевым.
    Вопрос, в каком порядке занулять элементы матрицы А, т.е. вопрос о выборе индексов i
и j для каждого шага, определяет различные варианты метода Якоби.

                                      4.2.1. Различные варианты метода Якоби

   Классический метод. На каждой итерации классического метода Якоби зануляется мак-
симальный по модулю недиагональный элемент с номером:
      (in, jn)⇒ a i    j
                            = max a ij( n ) , n=0, 1, 2,…
                      n n      i≠ j

   Барьерные методы. Используется простая циклическая последовательность аннулиро-
вания недиагональных элементов матрицы, т.е. элементы матрицы зануляются в следующем
порядке: (2, 1), (3, 1), (3, 2),…, (n, 1), (n, 2),…, (n, n-1), а затем начинается новый проход по
матрице в том же порядке. При этом вращения опускаются, если a ij( n ) меньше некоторого
барьерного значения τ, которое может быть фиксировано, а может меняться на каждой ите-
рации.
   Фиксированный барьер меняется, если все диагональные элементы стали меньше его
следующим образом:
   1. В качестве барьера τ выбирается произвольное положительное число. Затем, когда
       все недиагональные элементы становятся по модулю меньше его, барьер заменяется
       на новый τ’=τ/const.

Страницы