ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
………………………………
y
k
=
∑
=
λ
n
1i
i
k
ii
xc ,
y
k+1
=
∑
=
+
λ
n
1i
i
1k
ii
xc .
Тогда
(y
k
, y
k
)=
∑
=
n
1i
2k
i
2
i
λc,
(y
k+1
, y
k
)=
∑
=
+
n
1i
12k
i
2
i
λc.
Значит
)y,y(
)y,y(
kk
k1k+
= =
λ+λ++λ
λ+λ++λ
−−
++
−−
+
k2
n
2
n
k2
1n
2
1n
k2
1
2
1
1k2
n
2
n
1k2
1n
2
1n
1k2
1
2
1
cc...c
cc...с
λ
n
2
n
k2
n
1n
2
1n
k2
n
1
2
1
2
n
1k2
n
1n
2
1n
1k2
n
1
2
1
c)(c...)(c
c)(c...)(с
+
λ
λ
++
λ
λ
+
λ
λ
++
λ
λ
−
−
+
−
−
+
, (4.23)
что приводит к (4.21) и (4.22) при k
→∞.
Таким образом, наибольшее по модулю собственное значение находится итерационно по
формуле
≈λ
+ )1k(
n
)y,y(
)y,y(
kk
k1k+
(k=0, 1, 2,…),
что подтверждает (4.22). Из формулы (4.23) видно, что степенной метод нахождения наи-
большего по модулю собственного значения сходится при выполнении условия (4.19). Про-
цесс итерации заканчивается при выполнении условия
)1k(
n
)k(
n
)1k(
n
+
+
λ
λ−λ
<ε, 0<ε<1.
Для вычисления собственного вектора x
n
воспользуемся формулой (4.20). Действитель-
но,
y
k+1
=
∑
=
+
λ
n
1i
i
1k
ii
xc =c
n
∑
−
=
++
λ
λ
+λ
1n
1i
i
1k
n
i
n
i
n
1k
n
]x))(
c
c
(x[
,
при k
→∞ y
k+1
≈ c
n
1k
n
+
λ
x
n
.
Таким образом, вектор y
k+1
отличается от собственного вектора x
n
лишь множителем
c
n
1k
n
+
λ
. Так как величина
1k
n
+
λ
может быть достаточно большой, то при вычислении x
n
фор-
мулой (4.20) необходима нормировка вычисляемого вектора y
k+1
через какое-то число ите-
рации. Нормированный собственный вектор x
n
будет таким
x
n
=
1k
1k
y
y
+
+
или x
ni
=
1k
i,1k
y
y
+
+
.
4.4. Обратный степенной метод
Обратный степенной метод [6, 9, 11, 12] используется для нахождения наименьшего по
модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы. При
этом метод применяется к обратной матрице A
-1
, так как собственные значения последней
обратны к собственным значениям матрицы А.
Пусть А=A
*
и
λ
1
<λ
2
<…<λ
n-1
<λ
n
. (4.24)
………………………………
n
yk= ∑ c i λki x i ,
i =1
n
yk+1= ∑ c i λki +1 x i .
i =1
Тогда
n
(yk, yk)= ∑ c i2 λ i2k ,
i =1
n
(yk+1, yk)= ∑ c i2 λ i2k +1 .
i =1
Значит
λ1 λ n −1
с 12 ( ) 2 k +1 + ... + c 2n −1 ( ) 2 k +1 + c 2n
( y k +1 , y k ) с 12 λ21k +1 + ... + c 2n −1 λ2nk−+11 + c 2n λ2nk +1 λn λn
= = λn , (4.23)
(y k , y k ) c 12 λ21k + ... + c 2n −1 λ2nk−1 + c 2n λ2nk λ1 λ n −1
c 12 ( ) 2 k + ... + c 2n −1 ( ) 2 k + c 2n
λn λn
что приводит к (4.21) и (4.22) при k→∞.
Таким образом, наибольшее по модулю собственное значение находится итерационно по
формуле
( y k +1 , y k )
λ(nk +1) ≈ (k=0, 1, 2,…),
(y k , y k )
что подтверждает (4.22). Из формулы (4.23) видно, что степенной метод нахождения наи-
большего по модулю собственного значения сходится при выполнении условия (4.19). Про-
цесс итерации заканчивается при выполнении условия
λ(nk +1) − λ(nk )
<ε, 0<ε<1.
λ(nk +1)
Для вычисления собственного вектора xn воспользуемся формулой (4.20). Действитель-
но,
n n −1 ci λi
yk+1= ∑ c i λki +1 x i =cn λk +1 [ x + ∑ ( )( ) k +1 x i ] ,
i =1
n n
i =1 cn λn
при k→∞ yk+1≈ c nλ
k +1 xn .
n
Таким образом, вектор yk+1 отличается от собственного вектора xn лишь множителем
cnλ
k +1 . Так как величина λk +1 может быть достаточно большой, то при вычислении xn фор-
n n
мулой (4.20) необходима нормировка вычисляемого вектора yk+1 через какое-то число ите-
рации. Нормированный собственный вектор xn будет таким
y k +1 y k +1,i
xn= или xni= .
y k +1 y k +1
4.4. Обратный степенной метод
Обратный степенной метод [6, 9, 11, 12] используется для нахождения наименьшего по
модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы. При
этом метод применяется к обратной матрице A-1, так как собственные значения последней
обратны к собственным значениям матрицы А.
Пусть А=A* и
λ1<λ2<…<λn-1<λn. (4.24)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
