Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 36 стр.

      ………………………………
             n
      yk= ∑ c i λki x i ,
            i =1
                   n
      yk+1= ∑ c i λki +1 x i .
                 i =1
Тогда
                         n
      (yk, yk)= ∑ c i2 λ i2k ,
                        i =1
                               n
      (yk+1, yk)= ∑ c i2 λ i2k +1 .
                             i =1
Значит
                                                                                                                λ1                                 λ n −1
                                                                                                       с 12 (        ) 2 k +1 + ... + c 2n −1 (             ) 2 k +1 + c 2n
       ( y k +1 , y k )            с 12 λ21k +1    + ... + c 2n −1 λ2nk−+11 + c 2n λ2nk +1                      λn                                  λn
                             =                                                                = λn                                                                            ,   (4.23)
        (y k , y k )                   c 12 λ21k   + ... + c 2n −1 λ2nk−1 + c 2n λ2nk                             λ1                               λ n −1
                                                                                                         c 12 (          ) 2 k + ... + c 2n −1 (            ) 2 k + c 2n
                                                                                                                  λn                                λn
что приводит к (4.21) и (4.22) при k→∞.
   Таким образом, наибольшее по модулю собственное значение находится итерационно по
формуле
                                                                                    ( y k +1 , y k )
                                                                       λ(nk +1) ≈                               (k=0, 1, 2,…),
                                                                                     (y k , y k )
что подтверждает (4.22). Из формулы (4.23) видно, что степенной метод нахождения наи-
большего по модулю собственного значения сходится при выполнении условия (4.19). Про-
цесс итерации заканчивается при выполнении условия
                                                                                λ(nk +1) − λ(nk )
                                                                                                       <ε, 0<ε<1.
                                                                                      λ(nk +1)
      Для вычисления собственного вектора xn воспользуемся формулой (4.20). Действитель-
но,
                                                                   n                                              n −1    ci        λi
                                                        yk+1= ∑ c i λki +1 x i =cn λk +1 [ x + ∑ (                             )(        ) k +1 x i ] ,
                                                                  i =1
                                                                                    n       n
                                                                                                                  i =1    cn        λn
при k→∞                 yk+1≈ c          nλ
                                           k +1      xn .
                                            n
      Таким образом, вектор yk+1 отличается от собственного вектора xn лишь множителем
cnλ
   k +1 . Так как величина λk +1 может быть достаточно большой, то при вычислении xn фор-
    n                                                        n
мулой (4.20) необходима нормировка вычисляемого вектора yk+1 через какое-то число ите-
рации. Нормированный собственный вектор xn будет таким
                                                                                     y k +1                              y k +1,i
                                                                            xn=                  или xni=                           .
                                                                                     y k +1                              y k +1


                                                                 4.4. Обратный степенной метод

   Обратный степенной метод [6, 9, 11, 12] используется для нахождения наименьшего по
модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы. При
этом метод применяется к обратной матрице A-1, так как собственные значения последней
обратны к собственным значениям матрицы А.
   Пусть А=A* и
                   λ1<λ2<…<λn-1<λn.                       (4.24)