Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 37 стр.

Выберем произвольный вектор z0 таким, что
                                          (z0, x1)≠0
и образуем последовательность
                   zk+1=A-1zk .                              (4.25)
                                                -1
Так как собственные значения γi матрицы A связаны с собственными значениями λi
матрицы А соотношением
                                           γiλi=1 ,
имеем
                                γmax=1/λmin=1/λ1=γ1.
Покажем, что
                                                    ( z k +1 , z k )       1
                                            lim                        =                                                                                      (4.26)
                                            k →∞     (z k , z k )          λ1
или
                                                                                        2k
                                            (z k +1 , z k )1   λ
                                                          = +О( 1                              ).                                                             (4.27)
                                              (z k , z k ) λ 1 λ2
   Формулы (4.25) – (4.27) составляют алгоритм определения наименьшего по модулю соб-
ственного значения матрицы А.
   Далее разложим вектор z0 по собственным векторам матрицы А
           n
   z0 = ∑ d i x i ,
          i =1
                             n
   z1=A-1z0= ∑ d i γ i x i ,
                           i =1
                             n
   z2=A z1= ∑ d i γ i2 x i ,
            -1

                           i =1
   ………………
           n
   zk= ∑ d i γ ik x i ,
          i =1
                 n
   zk+1= ∑ d i γ ik +1 x i .
               i =1
Тогда
                       n
   (zk, zk)= ∑ d i2 γ i2 k ,
                      i =1
                             n
   (zk+1, zk)= ∑ d i2 γ i2 k +1 .
                           i =1


Поэтому
                                                                                                                         γ2                                   γn
                                                                                                         d 12 + d 22 (        ) 2 k +1 + ... + d 2n (              ) 2 k +1
      (z k +1 , z k )             d 12 γ 12 k +1 + ... + d 2n −1 γ 2n k−1+1 + d 2n γ 2n k +1                             γ1                                   γ1
                             =                                                                 = γn                                                                           .   (4.28)
       (z k , z k )                   d 12 γ 12 k + ... + d 2n −1 γ 2n k−1 + d 2n γ 2n k                                     γ2                               γn
                                                                                                           d 12   + d 22 (        )   2k
                                                                                                                                           + ... + d 2n   (        )   2k
                                                                                                                             γ1                               γ1

Из (4.28) следует сходимость обратного степенного метода, и будем иметь
                                                            (z k +1 , z k )                            1
                                                                                ≈ γ 1( k +1) =                      (k=0, 1, 2,…),
                                                             (z k , z k )                           λ(1k +1)
что подтверждает (4.27).