Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Выберем произвольный вектор z
0
таким, что
(z
0
, x
1
)≠0
и образуем последовательность
z
k+1
=A
-1
z
k
. (4.25)
Так как собственные значения
γ
i
матрицы A
-1
связаны с собственными значениями λ
i
матрицы А соотношением
γ
i
λ
i
=1 ,
имеем
γ
max
=1/λ
min
=1/λ
1
=γ
1
.
Покажем, что
)z,z(
)z,z(
lim
kk
k1k
k
+
∞→
=
1
1
λ
(4.26)
или
)z,z(
)z,z(
kk
k1k
+
=
1
1
λ
+О(
k2
2
1
λ
λ
). (4.27)
Формулы (4.25) – (4.27) составляют алгоритм определения наименьшего по модулю соб-
ственного значения матрицы А.
Далее разложим вектор z
0
по собственным векторам матрицы А
z
0
=
∑
=
n
1i
ii
xd ,
z
1
=A
-1
z
0
=
∑
=
γ
n
1i
iii
xd ,
z
2
=A
-1
z
1
=
∑
=
γ
n
1i
i
2
ii
xd ,
………………
z
k
=
∑
=
γ
n
1i
i
k
ii
xd ,
z
k+1
=
∑
=
+
γ
n
1i
i
1k
ii
xd .
Тогда
(z
k
, z
k
)=
∑
=
γ
n
1i
k2
i
2
i
d ,
(z
k+1
, z
k
)=
∑
=
+
γ
n
1i
1k2
i
2
i
d .
Поэтому
)z,z(
)z,z(
kk
k1k
+
= =
γ+γ++γ
γ+γ++γ
−−
++
−−
+
k2
n
2
n
k2
1n
2
1n
k2
1
2
1
1k2
n
2
n
1k2
1n
2
1n
1k2
1
2
1
dd...d
dd...d
γ
n
k2
1
n
2
n
k2
1
2
2
2
2
1
1k2
1
n
2
n
1k2
1
2
2
2
2
1
)(d...)(dd
)(d...)(dd
γ
γ
++
γ
γ
+
γ
γ
++
γ
γ
+
++
. (4.28)
Из (4.28) следует сходимость обратного степенного метода, и будем иметь
)z,z(
)z,z(
kk
k1k
+
≈
)1k(
1
)1k(
1
1
+
+
λ
=γ
(k=0, 1, 2,…),
что подтверждает (4.27). 
Выберем произвольный вектор z0 таким, что
                                          (z0, x1)≠0
и образуем последовательность
                   zk+1=A-1zk .                              (4.25)
                                                -1
Так как собственные значения γi матрицы A связаны с собственными значениями λi
матрицы А соотношением
                                           γiλi=1 ,
имеем
                                γmax=1/λmin=1/λ1=γ1.
Покажем, что
                                                    ( z k +1 , z k )       1
                                            lim                        =                                                                                      (4.26)
                                            k →∞     (z k , z k )          λ1
или
                                                                                        2k
                                            (z k +1 , z k )1   λ
                                                          = +О( 1                              ).                                                             (4.27)
                                              (z k , z k ) λ 1 λ2
   Формулы (4.25) – (4.27) составляют алгоритм определения наименьшего по модулю соб-
ственного значения матрицы А.
   Далее разложим вектор z0 по собственным векторам матрицы А
           n
   z0 = ∑ d i x i ,
          i =1
                             n
   z1=A-1z0= ∑ d i γ i x i ,
                           i =1
                             n
   z2=A z1= ∑ d i γ i2 x i ,
            -1

                           i =1
   ………………
           n
   zk= ∑ d i γ ik x i ,
          i =1
                 n
   zk+1= ∑ d i γ ik +1 x i .
               i =1
Тогда
                       n
   (zk, zk)= ∑ d i2 γ i2 k ,
                      i =1
                             n
   (zk+1, zk)= ∑ d i2 γ i2 k +1 .
                           i =1


Поэтому
                                                                                                                         γ2                                   γn
                                                                                                         d 12 + d 22 (        ) 2 k +1 + ... + d 2n (              ) 2 k +1
      (z k +1 , z k )             d 12 γ 12 k +1 + ... + d 2n −1 γ 2n k−1+1 + d 2n γ 2n k +1                             γ1                                   γ1
                             =                                                                 = γn                                                                           .   (4.28)
       (z k , z k )                   d 12 γ 12 k + ... + d 2n −1 γ 2n k−1 + d 2n γ 2n k                                     γ2                               γn
                                                                                                           d 12   + d 22 (        )   2k
                                                                                                                                           + ... + d 2n   (        )   2k
                                                                                                                             γ1                               γ1

Из (4.28) следует сходимость обратного степенного метода, и будем иметь
                                                            (z k +1 , z k )                            1
                                                                                ≈ γ 1( k +1) =                      (k=0, 1, 2,…),
                                                             (z k , z k )                           λ(1k +1)
что подтверждает (4.27).

Страницы