Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 37 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Выберем произвольный вектор z
0
таким, что
(z
0
, x
1
)0
и образуем последовательность
z
k+1
=A
-1
z
k
. (4.25)
Так как собственные значения
γ
i
матрицы A
-1
связаны с собственными значениями λ
i
матрицы А соотношением
γ
i
λ
i
=1 ,
имеем
γ
max
=1/λ
min
=1/λ
1
=γ
1
.
Покажем, что
)z,z(
)z,z(
lim
kk
k1k
k
+
=
1
1
λ
(4.26)
или
)z,z(
)z,z(
kk
k1k
+
=
1
1
λ
+О(
k2
2
1
λ
λ
). (4.27)
Формулы (4.25) – (4.27) составляют алгоритм определения наименьшего по модулю соб-
ственного значения матрицы А.
Далее разложим вектор z
0
по собственным векторам матрицы А
z
0
=
=
n
1i
ii
xd ,
z
1
=A
-1
z
0
=
=
γ
n
1i
iii
xd ,
z
2
=A
-1
z
1
=
=
γ
n
1i
i
2
ii
xd ,
………………
z
k
=
=
γ
n
1i
i
k
ii
xd ,
z
k+1
=
=
+
γ
n
1i
i
1k
ii
xd .
Тогда
(z
k
, z
k
)=
=
γ
n
1i
k2
i
2
i
d ,
(z
k+1
, z
k
)=
=
+
γ
n
1i
1k2
i
2
i
d .
Поэтому
)z,z(
)z,z(
kk
k1k
+
= =
γ+γ++γ
γ+γ++γ
++
+
k2
n
2
n
k2
1n
2
1n
k2
1
2
1
1k2
n
2
n
1k2
1n
2
1n
1k2
1
2
1
dd...d
dd...d
γ
n
k2
1
n
2
n
k2
1
2
2
2
2
1
1k2
1
n
2
n
1k2
1
2
2
2
2
1
)(d...)(dd
)(d...)(dd
γ
γ
++
γ
γ
+
γ
γ
++
γ
γ
+
++
. (4.28)
Из (4.28) следует сходимость обратного степенного метода, и будем иметь
)z,z(
)z,z(
kk
k1k
+
)1k(
1
)1k(
1
1
+
+
λ
=γ
(k=0, 1, 2,…),
что подтверждает (4.27).