Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 38 стр.

    Для нахождения собственного вектора х1 можно воспользоваться формулой (4.25). То-
гда получим
                                         n                       n      di            d1         n   d i λ 1 k +1
                                 zk+1= ∑ d i γ ik +1 x i = ∑                    xi=        [ x +  ∑(    )( ) x i .
                                        i =1                    i =1   λki +1         λk1+1 1 i = 2 d 1 λ i
                          d1
При k→∞          zk+1≈           x 1 , следовательно, вектор zk+1 будет отличаться от вектора х1 множи-
                         λk1+1
         d1
телем           . При определении собственного вектора х1 требуется нормировка вычисляемых
        λk1+1
векторов zk+1 .

                                                    4.5. Итерационный метод

   Пусть А=А* >0 , тогда распишем систему уравнений
                   (А-λЕ)х=0                                       (4.29)
относительно собственного значения λ1 и собственного вектора х 1 матрицы А
                                                               (1)


                                              (a − λ ) x (1) + a x (1) + ... + a x (1) = 0,
                                              11 (1) 1 1                12 2
                                                                               (1)
                                                                                              1n n
                                                                                                    (1)
                                             a 21 x 1 + (a 22 − λ 1 ) x 2 + ... + a 2 n x n = 0,
                                             
                                              ..............................................................
                                              a x (1) + a x (1) + ... + (a − λ ) x (1) = 0
                                              n1 1            n2 2                   nn       1     n

или
                                       1
                           x 1(1) =       (a x (1) + a 12 x (21) + ... + a 1n x (n1) ),
                                      λ 1 11 1
                     
                            (1)       1            (1)            (1)                  (1)
                      x 2 = λ (a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ),
                                        1
                             .............................................................                     (4.30)
                      (1)         1               (1)               (1)                    (1)
                     x n −1 = λ (a n −1,1 x 1 + a n −1, 2 x 2 + ... + a n −1, n x n ),
                                   1
                      λ = 1 (a x (1) + a x (1) + ... + a x (1) ).
                            1
                                    x (n1) n1 1              n2 2                  nn n
                     
    Поскольку компоненты собственных векторов определяются с точностью до постоянной,
то одну из них можно задать произвольно, например, за исключением особого случая, можно
положить x (n1) =1. Систему (4.30) можно решить методом итерации, следующим образом при
начальных значениях x i(1,0) , λ(10)
                                          (1, k +1)     1 n −1
                                           x
                                          i
                                         
                                                     =
                                                       λ (k )
                                                                j=1
                                                                       ∑
                                                              ( a ij x (j1, k ) + a in ), i = 1, n − 1;
                                                          1
                                                      n −1
                                          λ( k +1) =
                                          1               ∑a nj x (j1, k +1) + a nn , k = 0,1,2,3,...
                                                      j=1

Итерация заканчивается при выполнении условия
                               λ(1k +1) − λ(1k ) < ε, где 0<ε<1.
Таким образом, находится первое собственное значение
                                                                           λ 1 ≈ λ(1k +1)
и первый собственный вектор