ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Для нахождения собственного вектора х
1
можно воспользоваться формулой (4.25). То-
гда получим
z
k+1
=
∑
=
+
γ
n
1i
i
1k
ii
xd =
∑
=
+
λ
n
1i
1k
i
i
d
x
i
=
∑
=
+
+
λ
λ
+
λ
n
2i
i
1k
i
1
1
i
1
1k
1
1
x))(
d
d
(x[
d
.
При k
→∞ z
k+1
≈
1
1k
1
1
x
d
+
λ
, следовательно, вектор z
k+1
будет отличаться от вектора х
1
множи-
телем
1k
1
1
d
+
λ
. При определении собственного вектора х
1
требуется нормировка вычисляемых
векторов z
k+1
.
4.5. Итерационный метод
Пусть А=А
*
>0 , тогда распишем систему уравнений
(А-
λЕ)х=0 (4.29)
относительно собственного значения
λ
1
и собственного вектора
)1(
1
х матрицы А
=λ−+++
=++λ−+
=+++λ−
0x)a(...xaxa
..............................................................
,0xa...x)a(xa
,0xa...xax)a(
)1(
n1nn
)1(
22n
)1(
11n
)1(
nn2
)1(
2122
)1(
121
)1(
nn1
)1(
212
)1(
1111
или
+++=λ
+++
λ
=
+++
λ
=
+++
λ
=
−−−−
).xa...xaxa(
x
1
),xa...xaxa(
1
x
.............................................................
),xa...xaxa(
1
x
),xa...xaxa(
1
x
)1(
nnn
)1(
22n
)1(
11n
)1(
n
1
)1(
nn,1n
)1(
22,1n
)1(
11,1n
1
)1(
1n
)1(
nn2
)1(
222
)1(
121
1
)1(
2
)1(
nn1
)1(
212
)1(
111
1
)1(
1
(4.30)
Поскольку компоненты собственных векторов определяются с точностью до постоянной,
то одну из них можно задать произвольно, например, за исключением особого случая, можно
положить
)1(
n
x =1. Систему (4.30) можно решить методом итерации, следующим образом при
начальных значениях
)0(
1
)0,1(
i
,x λ
=+=λ
−=+
λ
=
∑
∑
−
=
++
−
=
+
1n
1j
nn
)1k,1(
jnj
)1k(
1
1n
1j
in
)k,1(
jij
)k(
1
)1k,1(
i
,...3,2,1,0k,axa
;1n,1i),axa(
1
x
Итерация заканчивается при выполнении условия
,
)k(
1
)1k(
1
ε<λ−λ
+
где 0<ε<1.
Таким образом, находится первое собственное значение
)1k(
11
+
λ≈λ
и первый собственный вектор
Для нахождения собственного вектора х1 можно воспользоваться формулой (4.25). То-
гда получим
n n di d1 n d i λ 1 k +1
zk+1= ∑ d i γ ik +1 x i = ∑ xi= [ x + ∑( )( ) x i .
i =1 i =1 λki +1 λk1+1 1 i = 2 d 1 λ i
d1
При k→∞ zk+1≈ x 1 , следовательно, вектор zk+1 будет отличаться от вектора х1 множи-
λk1+1
d1
телем . При определении собственного вектора х1 требуется нормировка вычисляемых
λk1+1
векторов zk+1 .
4.5. Итерационный метод
Пусть А=А* >0 , тогда распишем систему уравнений
(А-λЕ)х=0 (4.29)
относительно собственного значения λ1 и собственного вектора х 1 матрицы А
(1)
(a − λ ) x (1) + a x (1) + ... + a x (1) = 0,
11 (1) 1 1 12 2
(1)
1n n
(1)
a 21 x 1 + (a 22 − λ 1 ) x 2 + ... + a 2 n x n = 0,
..............................................................
a x (1) + a x (1) + ... + (a − λ ) x (1) = 0
n1 1 n2 2 nn 1 n
или
1
x 1(1) = (a x (1) + a 12 x (21) + ... + a 1n x (n1) ),
λ 1 11 1
(1) 1 (1) (1) (1)
x 2 = λ (a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ),
1
............................................................. (4.30)
(1) 1 (1) (1) (1)
x n −1 = λ (a n −1,1 x 1 + a n −1, 2 x 2 + ... + a n −1, n x n ),
1
λ = 1 (a x (1) + a x (1) + ... + a x (1) ).
1
x (n1) n1 1 n2 2 nn n
Поскольку компоненты собственных векторов определяются с точностью до постоянной,
то одну из них можно задать произвольно, например, за исключением особого случая, можно
положить x (n1) =1. Систему (4.30) можно решить методом итерации, следующим образом при
начальных значениях x i(1,0) , λ(10)
(1, k +1) 1 n −1
x
i
=
λ (k )
j=1
∑
( a ij x (j1, k ) + a in ), i = 1, n − 1;
1
n −1
λ( k +1) =
1 ∑a nj x (j1, k +1) + a nn , k = 0,1,2,3,...
j=1
Итерация заканчивается при выполнении условия
λ(1k +1) − λ(1k ) < ε, где 0<ε<1.
Таким образом, находится первое собственное значение
λ 1 ≈ λ(1k +1)
и первый собственный вектор
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
