Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 38 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Для нахождения собственного вектора х
1
можно воспользоваться формулой (4.25). То-
гда получим
z
k+1
=
=
+
γ
n
1i
i
1k
ii
xd =
=
+
λ
n
1i
1k
i
i
d
x
i
=
=
+
+
λ
λ
+
λ
n
2i
i
1k
i
1
1
i
1
1k
1
1
x))(
d
d
(x[
d
.
При k
→∞ z
k+1
1
1k
1
1
x
d
+
λ
, следовательно, вектор z
k+1
будет отличаться от вектора х
1
множи-
телем
1k
1
1
d
+
λ
. При определении собственного вектора х
1
требуется нормировка вычисляемых
векторов z
k+1
.
4.5. Итерационный метод
Пусть А=А
*
>0 , тогда распишем систему уравнений
(А-
λЕ)х=0 (4.29)
относительно собственного значения
λ
1
и собственного вектора
)1(
1
х матрицы А
=λ+++
=++λ+
=+++λ
0x)a(...xaxa
..............................................................
,0xa...x)a(xa
,0xa...xax)a(
)1(
n1nn
)1(
22n
)1(
11n
)1(
nn2
)1(
2122
)1(
121
)1(
nn1
)1(
212
)1(
1111
или
+++=λ
+++
λ
=
+++
λ
=
+++
λ
=
).xa...xaxa(
x
1
),xa...xaxa(
1
x
.............................................................
),xa...xaxa(
1
x
),xa...xaxa(
1
x
)1(
nnn
)1(
22n
)1(
11n
)1(
n
1
)1(
nn,1n
)1(
22,1n
)1(
11,1n
1
)1(
1n
)1(
nn2
)1(
222
)1(
121
1
)1(
2
)1(
nn1
)1(
212
)1(
111
1
)1(
1
(4.30)
Поскольку компоненты собственных векторов определяются с точностью до постоянной,
то одну из них можно задать произвольно, например, за исключением особого случая, можно
положить
)1(
n
x =1. Систему (4.30) можно решить методом итерации, следующим образом при
начальных значениях
)0(
1
)0,1(
i
,x λ
=+=λ
=+
λ
=
=
++
=
+
1n
1j
nn
)1k,1(
jnj
)1k(
1
1n
1j
in
)k,1(
jij
)k(
1
)1k,1(
i
,...3,2,1,0k,axa
;1n,1i),axa(
1
x
Итерация заканчивается при выполнении условия
,
)k(
1
)1k(
1
ε<λλ
+
где 0<ε<1.
Таким образом, находится первое собственное значение
)1k(
11
+
λλ
и первый собственный вектор