Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 40 стр.

   Дальше, согласно формуле (4.35) формируется последовательность подобных матриц
   A1=A; A1=Q1L1 , A2=L1Q1= Q1T A1Q1 ,
          A2=Q2L2 , A3=L2Q2= Q T2 A2Q2 ,            (4.36)
          ……………………………….
          Ak=QkLk , Ak+1=LkQk= Q Tk AkQk .
     Формула (4.36) описывает QL – алгоритм без сдвигов. При к→∞ последовательность
матриц Аk+1 сходятся к треугольной. Их диагональные элементы стремятся к её собствен-
ным значениям, которые в свою очередь являются собственными значениями матрицы А.
     Наддиагональный элемент (Ak)ij матрицы Ak на к-ой итерации QL – алгоритма равен
sij(λi/λj)k , где sij – постоянная и λ1<λ2<…<λn.
     Отметим, что сходимость QL – алгоритма улучшится, если использовать сдвиги.

                                   4.6.2. QR – алгоритм

   Пусть detA≠0, тогда согласно теореме 1.2 матрицу А можно представить в виде
                   A=QR,                                           (4.37)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица. Тогда матрица В, равная
                   B=RQ=QTAQ=Q-1AQ,                                (4.38)
подобна матрице А.
   Согласно, формуле (4.38) составляется последовательность подобных матриц
   A1=A; A1=Q1R1 , A2=R1Q1= Q1T A1Q1 ,
          A2=Q2R2 , A3=R2Q2= Q T2 A2Q2 ,            (4.39)
          ……………………………….
          Ak=QkRk , Ak+1=RkQk= Q Tk AkQk .
   В общем случае, когда собственные значения матрицы А различны, последовательность
матриц Ak имеет пределом верхнюю треугольную матрицу А∞ , диагональные элементы
которой представляют собой собственные значения исходной матрицы. Формула (4.39) опи-
сывает QR – алгоритм без сдигов.
   Модификация вида A1=A,…, Ak-αkE=QkRk , Ak+1=RkQk+αkE = Q k−1 AkQk , где αk – величи-
на сдвига называется QR – алгоритмом со сдвигом сходимость, которого существенно выше
по сравнению с QR – алгоритмом.

                   4.7. Обобщенная задача на собственные значения

   Обобщенная задача на собственные значения [13] очень важна для приложений. Эта за-
дача задается уравнением
                    Ах=λВх.                                       (4.40)
Если матрица В положительно определена, то для задачи (4.40) справедливы:
   1) Все её собственные значения вещественны;
   2) Собственные значения имеют тот же знак, что и собственные значения задачи Ах=λх.

                             4.7.1. Обобщенный метод Якоби

   Метод предназначен для решения задачи (4.40). Очевидно, что обобщенная задача на
собственные значения (4.40) эквивалентна для любой невырожденной матрицы Т задачи:
TАTTy=λTВTTy ,
причем новая задача сохраняет свойства исходных матриц А и В такие как симметрич-
ность и положительная определенность. В качестве матрицы Т выбираются: