Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 42 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

После подстановки этих выражений для
α и β в одно из исходных уравнений (4.41), полу-
чим:
0aa1(a
)k(
jj
)k(
i
)k(
ij
2
)k(
j
)k(
i
)k(
ii
)k(
j
=
ω
δ
ω
δδ
+
ω
δ
или
.0
a
aa
)k(
j
)k(
i
)k(
ij
)k(
jj
)k(
i
)k(
ii
)k(
j
2
=δδω
δδ
+ω
(4.44)
После упрощений (4.44) примет вид:
0
)k(
j
)k(
i
)k(
ij
2
=δδωδω . (4.45)
Когда матрица В положительно определена, уравнение (4.45) имеет ненулевое решение.
Чтобы
α и β были достаточно малыми величинами, в качестве ω нужно выбирать тот ко-
рень уравнения, который дальше отстоит от нуля.
После вычисления
ω элементы матрицы T
ij
(k) определяются по формулам:
ω
δ
=α
)k(
i
,
ω
δ
=β
)k(
j
.
На обобщенный метод Якоби распространяется квадратичная сходимость обычного ме-
тода Якоби, при условии, что итерационный процесс вообще сходится. Отметим, что теоре-
тически сходимость обобщенного метода Якоби ещё не доказана [13].
4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной
Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные зна-
чения
Ах=
λВх (4.46)
является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого
матрицы
B=LL
T
,
где L – нижняя треугольная матрица.
Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:
Ах=
λLL
T
х ,
L
-1
Ах=λL
T
х . (4.47)
Делаем замену переменных:
у=L
T
х или х=L
-Т
у.
Тогда (4.47) запишется в виде:
L
-1
АL
-Т
у=λу ,
при
~
A =L
-1
АL
-Т
,
~
A y=λу . (4.48)
Таким образом, исходная задача (4.46) при A=A
T
и В=В
Т
>0 заменяется эквивалентной
стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей
~
A
. Для по-
лученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.
Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы пере-
ход к уравнению
В
-1
Ах=λх ,
но матрица В
-1
А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей
на собственные значения с симметричной матрицей.