Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 42 стр.

После подстановки этих выражений для α и β в одно из исходных уравнений (4.41), полу-
чим:
                                         δ (jk )                           δ i( k ) δ (jk )                   δ i( k )
                                                      a ii( k )   + (1 −                      a ij( k )   −              a (jjk ) = 0
                                            ω                                   ω2                              ω
или
                            δ (jk ) a ii( k ) − δ i( k ) a (jjk )
                        2
                   ω +                                               ω − δ i( k ) δ (jk ) = 0.                                          (4.44)
                                          a ij( k )
После упрощений (4.44) примет вид:
                   ω 2 − δ ij( k ) ω − δ i( k ) δ (jk ) = 0 .                                                                           (4.45)
   Когда матрица В положительно определена, уравнение (4.45) имеет ненулевое решение.
Чтобы α и β были достаточно малыми величинами, в качестве ω нужно выбирать тот ко-
рень уравнения, который дальше отстоит от нуля.
   После вычисления ω элементы матрицы Tij(k) определяются по формулам:
                                                                           δ i( k )                   δ (jk )
                                                                   α=                 , β=                       .
                                                                             ω                            ω
   На обобщенный метод Якоби распространяется квадратичная сходимость обычного ме-
тода Якоби, при условии, что итерационный процесс вообще сходится. Отметим, что теоре-
тически сходимость обобщенного метода Якоби ещё не доказана [13].

              4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной

   Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные зна-
чения
                   Ах=λВх                                         (4.46)
является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого
матрицы
   B=LLT ,
где L – нижняя треугольная матрица.
   Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:
                                         Ах=λLLTх ,
                  L-1Ах=λLTх .                                      (4.47)
Делаем замену переменных:
                                     у=LTх или х=L-Ту.
Тогда (4.47) запишется в виде:
                                        L-1АL-Ту=λу ,
      ~
при A =L-1АL-Т ,
                    ~
                   A y=λу .                                   (4.48)
   Таким образом, исходная задача (4.46) при A=AT и В=ВТ>0 заменяется эквивалентной
                                                                                                                                                 ~
стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей A . Для по-
лученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.
    Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы пере-
ход к уравнению
    В-1Ах=λх ,
но матрица В-1А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей
на собственные значения с симметричной матрицей.