Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

После подстановки этих выражений для
α и β в одно из исходных уравнений (4.41), полу-
чим:
0aa1(a
)k(
jj
)k(
i
)k(
ij
2
)k(
j
)k(
i
)k(
ii
)k(
j
=
ω
δ
−
ω
δδ
−+
ω
δ
или
.0
a
aa
)k(
j
)k(
i
)k(
ij
)k(
jj
)k(
i
)k(
ii
)k(
j
2
=δδ−ω
δ−δ
+ω
(4.44)
После упрощений (4.44) примет вид:
0
)k(
j
)k(
i
)k(
ij
2
=δδ−ωδ−ω . (4.45)
Когда матрица В положительно определена, уравнение (4.45) имеет ненулевое решение.
Чтобы
α и β были достаточно малыми величинами, в качестве ω нужно выбирать тот ко-
рень уравнения, который дальше отстоит от нуля.
После вычисления
ω элементы матрицы T
ij
(k) определяются по формулам:
ω
δ
=α
)k(
i
,
ω
δ
=β
)k(
j
.
На обобщенный метод Якоби распространяется квадратичная сходимость обычного ме-
тода Якоби, при условии, что итерационный процесс вообще сходится. Отметим, что теоре-
тически сходимость обобщенного метода Якоби ещё не доказана [13].
4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной
Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные зна-
чения
Ах=
λВх (4.46)
является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого
матрицы
B=LL
T
,
где L – нижняя треугольная матрица.
Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:
Ах=
λLL
T
х ,
L
-1
Ах=λL
T
х . (4.47)
Делаем замену переменных:
у=L
T
х или х=L
-Т
у.
Тогда (4.47) запишется в виде:
L
-1
АL
-Т
у=λу ,
при
~
A =L
-1
АL
-Т
,
~
A y=λу . (4.48)
Таким образом, исходная задача (4.46) при A=A
T
и В=В
Т
>0 заменяется эквивалентной
стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей
~
A
. Для по-
лученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.
Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы пере-
ход к уравнению
В
-1
Ах=λх ,
но матрица В
-1
А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей
на собственные значения с симметричной матрицей. 
После подстановки этих выражений для α и β в одно из исходных уравнений (4.41), полу-
чим:
                                         δ (jk )                           δ i( k ) δ (jk )                   δ i( k )
                                                      a ii( k )   + (1 −                      a ij( k )   −              a (jjk ) = 0
                                            ω                                   ω2                              ω
или
                            δ (jk ) a ii( k ) − δ i( k ) a (jjk )
                        2
                   ω +                                               ω − δ i( k ) δ (jk ) = 0.                                          (4.44)
                                          a ij( k )
После упрощений (4.44) примет вид:
                   ω 2 − δ ij( k ) ω − δ i( k ) δ (jk ) = 0 .                                                                           (4.45)
   Когда матрица В положительно определена, уравнение (4.45) имеет ненулевое решение.
Чтобы α и β были достаточно малыми величинами, в качестве ω нужно выбирать тот ко-
рень уравнения, который дальше отстоит от нуля.
   После вычисления ω элементы матрицы Tij(k) определяются по формулам:
                                                                           δ i( k )                   δ (jk )
                                                                   α=                 , β=                       .
                                                                             ω                            ω
   На обобщенный метод Якоби распространяется квадратичная сходимость обычного ме-
тода Якоби, при условии, что итерационный процесс вообще сходится. Отметим, что теоре-
тически сходимость обобщенного метода Якоби ещё не доказана [13].

              4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной

   Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные зна-
чения
                   Ах=λВх                                         (4.46)
является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого
матрицы
   B=LLT ,
где L – нижняя треугольная матрица.
   Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:
                                         Ах=λLLTх ,
                  L-1Ах=λLTх .                                      (4.47)
Делаем замену переменных:
                                     у=LTх или х=L-Ту.
Тогда (4.47) запишется в виде:
                                        L-1АL-Ту=λу ,
      ~
при A =L-1АL-Т ,
                    ~
                   A y=λу .                                   (4.48)
   Таким образом, исходная задача (4.46) при A=AT и В=ВТ>0 заменяется эквивалентной
                                                                                                                                                 ~
стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей A . Для по-
лученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.
    Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы пере-
ход к уравнению
    В-1Ах=λх ,
но матрица В-1А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей
на собственные значения с симметричной матрицей.

Страницы