Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

i j
T
ij
(k)=
β
α−
1000000
000000
1)(
000000
0001000
000000
)(1
000000
0000001
MM
OMM
LLLLLLL
MOM
MM
MOM
LLLLLLL
MMO
MM
, (i<j).
Видно, что элементы на месте (i, j) у матриц T
ij
(k)А
k
ij
T (k)
и T
ij
(k)В
k
ij
T (k) определяются по
формулам:
,aa)1(aa
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
−−
α−αβ−+β=
,...3,2,1k,bb)1(bb
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
=α−αβ−+β=
−−
Обобщенный метод Якоби для задачи (4.40) состоит в последовательном применении кон-
груэнтных преобразований матриц А и В с помощью матриц T
ij
(k) таких, что на каждом
шаге
0a
)k(
ij
= , 0b
)k(
ij
= . В качестве стратегии выбора зануляемых элементов может быть реа-
лизован один из вариантов обычного метода Якоби (см. параграф 4.2).
Значения параметров
α, β матриц T
ij
(k) определяются из соотношений:
,0aa)1(a
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
=α−αβ−+β
−−
,...3,2,1k,0bb)1(b
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
==α−αβ−+β
−−
Обозначая через с=(1-
αβ) получим две системы линейных алгебраических уравнений:
α=+β
α=+β
,bcbb
,acaa
)k(
jj
)k(
ij
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ij
)k(
ii
(4.41)
и
β−=+α−
β−=+α−
.bcbb
,acaa
)k(
ii
)k(
ij
)k(
jj
)k(
ii
)k(
ij
)k(
jj
По правилу Крамера из этих уравнений получим:
)k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
bb
aa
bb
aa
с
α
=
,
)k(
ij
)k(
jj
)k(
ij
)k(
jj
)k(
jj
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
bb
aa
bb
aa
с
β
=
. (4.42)
Обозначая через:
)k(
jj
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
)k(
ij
bb
aa
=δ
,
)k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
)k(
ii
)k(
i
bb
aa
=δ
,
)k(
ij
)k(
jj
)k(
ij
)k(
jj
)k(
j
bb
aa
=δ
и приравнивая правые части (4.42) получим:
)k(
j
)k(
ij
)k(
i
)k(
ij
δ
δ
β=
δ
δ
α
. (4.43)
Положив,
ω
δ
=α
)k(
i
из (4.43) получим
ω
δ
=β
)k(
j
. 
                            i                                                    j
            1 0  M   0 0 0         M   0 0
                                            
            0 O M    0 0 0         M   0 0
             L L 1 L L L ( −α ) L L
                                            
            0 0  M O 0 0           M   0 0
   Tij(k)=  0 0 M 0 1 0           M
                                             
                                        0 0  , (i

Страницы