Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 41 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

i j
T
ij
(k)=
β
α
1000000
000000
1)(
000000
0001000
000000
)(1
000000
0000001
MM
OMM
LLLLLLL
MOM
MM
MOM
LLLLLLL
MMO
MM
, (i<j).
Видно, что элементы на месте (i, j) у матриц T
ij
(k)А
k
ij
T (k)
и T
ij
(k)В
k
ij
T (k) определяются по
формулам:
,aa)1(aa
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
ααβ+β=
,...3,2,1k,bb)1(bb
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
=ααβ+β=
Обобщенный метод Якоби для задачи (4.40) состоит в последовательном применении кон-
груэнтных преобразований матриц А и В с помощью матриц T
ij
(k) таких, что на каждом
шаге
0a
)k(
ij
= , 0b
)k(
ij
= . В качестве стратегии выбора зануляемых элементов может быть реа-
лизован один из вариантов обычного метода Якоби (см. параграф 4.2).
Значения параметров
α, β матриц T
ij
(k) определяются из соотношений:
,0aa)1(a
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
=ααβ+β
,...3,2,1k,0bb)1(b
)1k(
jj
)1k(
ij
)k(
ii
==ααβ+β
Обозначая через с=(1-
αβ) получим две системы линейных алгебраических уравнений:
α=+β
α=+β
,bcbb
,acaa
)k(
jj
)k(
ij
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ij
)k(
ii
(4.41)
и
β=+α
β=+α
.bcbb
,acaa
)k(
ii
)k(
ij
)k(
jj
)k(
ii
)k(
ij
)k(
jj
По правилу Крамера из этих уравнений получим:
)k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
bb
aa
bb
aa
с
α
=
,
)k(
ij
)k(
jj
)k(
ij
)k(
jj
)k(
jj
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
bb
aa
bb
aa
с
β
=
. (4.42)
Обозначая через:
)k(
jj
)k(
ii
)k(
jj
)k(
ii
)k(
ij
bb
aa
=δ
,
)k(
ij
)k(
ii
)k(
ij
)k(
ii
)k(
i
bb
aa
=δ
,
)k(
ij
)k(
jj
)k(
ij
)k(
jj
)k(
j
bb
aa
=δ
и приравнивая правые части (4.42) получим:
)k(
j
)k(
ij
)k(
i
)k(
ij
δ
δ
β=
δ
δ
α
. (4.43)
Положив,
ω
δ
=α
)k(
i
из (4.43) получим
ω
δ
=β
)k(
j
.