Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 39 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

+
+
+
1
x
x
x
x
)1k,1(
1n
)1k,1(
2
)1k,1(
1
)1(
M
.
Для определения второго собственного значения
λ
2
и второго собственного вектора х
(2)
обратимся к системе
=
==λ
n
1j
)2(
jij
)2(
i2
.n,1i,xax
(4.31)
Из соотношения ортогональности
=
=
n
1j
)2(
j
)1(
j
0xx
(4.32)
исключается одно из неизвестных
)2(
j
x , например
)2(
n
x . Тогда система (4.31) заменится экви-
валентной
=λ
=
λ
=
.xa
x
1
;2n,1i,xa
1
x
)2(
j
)2(
j,1n
)2(
1n
2
)2(
j
)2(
ij
2
)2(
i
(4.33)
Здесь
)2(
ij
a
новые преобразованные коэффициенты. Далее, полагая, что
)2(
1n
x
=1 и при задан-
ных начальных значениях
)0(
2
)0,2(
i
,x λ решается система уравнений (4.33) методом итерации:
=+=λ
=+
λ
=
=
++
=
+
2n
1j
1n,1n
)1k,2(
jnj
)1k(
2
2n
1j
1in
)k,1(
jij
)k(
2
)1k,2(
i
,...3,2,1,0k,axa
;2n,1i),axa(
1
x
В результате будут найдены второе собственное значение
λ
2
и второй собственный вектор
х
(2)
матрицы А, при чем n-я компонента этого вектора находится из условия ортогонально-
сти (4.32). Аналогично находятся остальные
λ
j
(j=3,4,…,n) и соответствующие им собствен-
ные векторы х
(j)
.
4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу
Здесь будут рассмотрены методы решения полной проблемы собственных значений для
несимметричных матриц, при этом не делается каких-либо оговорок относительно кратности
или не кратности собственных значений. К таким методам относятся QL и QR алгоритмы
[9, 11, 12]. Отметим, что эти алгоритмы являются типичными представителями методов
трансформационного типа. Общая идея этих методов состоит в том, чтобы посредством по-
следовательности простых преобразований подобий привести матрицу к той или иной кано-
нической форме, позволяющей без труда определить собственные значения и вектора.
4.6.1. QL – алгоритм
Пусть detA0, тогда согласно теореме 1.3 матрицу А можно разложить
A=QL, (4.34)
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица. Тогда матрица В, равная
B=LQ=Q
T
AQ=Q
-1
AQ, (4.35)
подобна матрице А.