Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

≈
+
−
+
+
1
x
x
x
x
)1k,1(
1n
)1k,1(
2
)1k,1(
1
)1(
M
.
Для определения второго собственного значения
λ
2
и второго собственного вектора х
(2)
обратимся к системе
∑
=
==λ
n
1j
)2(
jij
)2(
i2
.n,1i,xax
(4.31)
Из соотношения ортогональности
∑
=
=
n
1j
)2(
j
)1(
j
0xx
(4.32)
исключается одно из неизвестных
)2(
j
x , например
)2(
n
x . Тогда система (4.31) заменится экви-
валентной
=λ
−=
λ
=
∑
∑
−
−
.xa
x
1
;2n,1i,xa
1
x
)2(
j
)2(
j,1n
)2(
1n
2
)2(
j
)2(
ij
2
)2(
i
(4.33)
Здесь
)2(
ij
a
новые преобразованные коэффициенты. Далее, полагая, что
)2(
1n
x
−
=1 и при задан-
ных начальных значениях
)0(
2
)0,2(
i
,x λ решается система уравнений (4.33) методом итерации:
=+=λ
−=+
λ
=
∑
∑
−
=
−−
++
−
=
−
+
2n
1j
1n,1n
)1k,2(
jnj
)1k(
2
2n
1j
1in
)k,1(
jij
)k(
2
)1k,2(
i
,...3,2,1,0k,axa
;2n,1i),axa(
1
x
В результате будут найдены второе собственное значение
λ
2
и второй собственный вектор
х
(2)
матрицы А, при чем n-я компонента этого вектора находится из условия ортогонально-
сти (4.32). Аналогично находятся остальные
λ
j
(j=3,4,…,n) и соответствующие им собствен-
ные векторы х
(j)
.
4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу
Здесь будут рассмотрены методы решения полной проблемы собственных значений для
несимметричных матриц, при этом не делается каких-либо оговорок относительно кратности
или не кратности собственных значений. К таким методам относятся QL и QR алгоритмы
[9, 11, 12]. Отметим, что эти алгоритмы являются типичными представителями методов
трансформационного типа. Общая идея этих методов состоит в том, чтобы посредством по-
следовательности простых преобразований подобий привести матрицу к той или иной кано-
нической форме, позволяющей без труда определить собственные значения и вектора.
4.6.1. QL – алгоритм
Пусть detA≠0, тогда согласно теореме 1.3 матрицу А можно разложить
A=QL, (4.34)
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица. Тогда матрица В, равная
B=LQ=Q
T
AQ=Q
-1
AQ, (4.35)
подобна матрице А. 
                                                                             x (1, k +1) 
                                                                             1           
                                                                             x (1, k +1) 
                                                                                2
                                                                 x (1)   ≈  M  .
                                                                             x (1, k +1) 
                                                                             n −1 
                                                                              1 
   Для определения второго собственного значения λ2 и второго собственного вектора х(2)
обратимся к системе
                                       n
                      λ 2 x i( 2 ) =   ∑a
                                       j=1
                                             ij
                                                  x (j2 ) , i = 1, n.                                     (4.31)

Из соотношения ортогональности
                        n

                       ∑x
                       j=1
                              (1) ( 2 )
                              j
                                 xj        =0                                                             (4.32)

исключается одно из неизвестных x (j2) , например x (n2) . Тогда система (4.31) заменится экви-
валентной
                  ( 2)     1
                 x i =
                          λ2
                                  ∑a ij( 2) x (j2 ) , i = 1, n − 2;
                                                                                                         (4.33)
                                1
                 
                 
                        λ 2 = ( 2)
                              x
                                             ∑
                                             a (n2−)1, j x (j2 ) .
                               n −1

Здесь a ij( 2) новые преобразованные коэффициенты. Далее, полагая, что x (n2−)1 =1 и при задан-
ных начальных значениях x i( 2,0) , λ(20) решается система уравнений (4.33) методом итерации:
                                  ( 2, k +1)      1 n −2
                                   x
                                  i
                                 
                                              =
                                                 λ  (k)
                                                           j=1
                                                               ∑
                                                        ( a ij x (j1, k ) + a in −1 ), i = 1, n − 2;
                                                     2
                                              n −2
                                  λ( k +1) =
                                  2                 ∑
                                                     a nj x (j2, k +1) + a n −1, n −1 , k = 0,1,2,3,...
                                               j=1

В результате будут найдены второе собственное значение λ2 и второй собственный вектор
х(2) матрицы А, при чем n-я компонента этого вектора находится из условия ортогонально-
сти (4.32). Аналогично находятся остальные λj (j=3,4,…,n) и соответствующие им собствен-
ные векторы х(j).

            4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу

    Здесь будут рассмотрены методы решения полной проблемы собственных значений для
несимметричных матриц, при этом не делается каких-либо оговорок относительно кратности
или не кратности собственных значений. К таким методам относятся QL и QR алгоритмы
[9, 11, 12]. Отметим, что эти алгоритмы являются типичными представителями методов
трансформационного типа. Общая идея этих методов состоит в том, чтобы посредством по-
следовательности простых преобразований подобий привести матрицу к той или иной кано-
нической форме, позволяющей без труда определить собственные значения и вектора.

                                                          4.6.1. QL – алгоритм

   Пусть detA≠0, тогда согласно теореме 1.3 матрицу А можно разложить
                   A=QL,                                           (4.34)
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица. Тогда матрица В, равная
                  B=LQ=QTAQ=Q-1AQ,                                 (4.35)
подобна матрице А.

Страницы